2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Интегральный синус/косинус
Сообщение21.05.2014, 02:26 
Здравствуйте!

Есть такая задачка: Выразить через интегральный синус и/или косинус $$\int\limit_{0.2}^{2} \frac{\cos(x)}{(2x+6)^2} dx$$

Интегрируя по частям, получаю $$\int\limit_{0.2}^{2} \frac{\cos(x)}{(2x+6)^2} dx = - \frac{1}{4} \left ( \frac{\cos(2)}{5} - \frac{\cos(0.2)}{3.2} \right ) - \frac{1}{4} \int\limits_{0.2}^{2} \frac{\sin(x)}{x+3} dx$$

Рассмотрим последний интеграл, делаем в нем замену $t=x+3$, получаем $$ \int\limits_{0.2}^{2} \frac{\sin(t-3) dt}{t}$$

Раскрываем синус разности $$ \int\limits_{0.2}^{2} \frac{\sin(t) \cos(3) - \cos(t) \sin(3) }{t}dt$$

В итоге приходим к двум интегралам $$ \int\limits_{0.2}^{2} \frac{\sin(t)}{t}dt$$ и $$ \int\limits_{0.2}^{2} \frac{\cos(t)}{t}dt$$

Очень хотелось бы сделать так $$ \int\limits_{0.2}^{2} \frac{\sin(t)}{t}dt = \operatorname{Si}(2) - \operatorname{Si}(0.2)$$ и аналогично для косинуса, причем матпакеты говорят, что так оно и есть... Но есть одно но, интегральный синус определяется как $$\operatorname{Si}(x) = \int\limits_{0}^{x} \frac{\sin(t)}{t} dt$$ то есть нижний предел в интеграле - ноль, а у меня не ноль...

Подскажите, пожалуйста, кто прав и как быть :|

Спасибо!

 
 
 
 Re: Интегральный синус/косинус
Сообщение21.05.2014, 02:34 
Аддитивностью интеграла воспользуйтесь. Разбейте на нужные промежутки.

 
 
 
 Re: Интегральный синус/косинус
Сообщение21.05.2014, 02:36 

(Оффтоп)

опередили :-(

 
 
 
 Re: Интегральный синус/косинус
Сообщение21.05.2014, 02:38 
Otta
Нужно чтобы нижний предел был ноль, но ноль не лежит на отрезке $[0.2;2]$... На какие промежутки? :|

 
 
 
 Re: Интегральный синус/косинус
Сообщение21.05.2014, 02:40 
Ну и сделайте ноль. Добавьте-вычтите нужное, ну не маленький же, учить Вас. :mrgreen:

 
 
 
 Re: Интегральный синус/косинус
Сообщение21.05.2014, 02:47 
Otta
$$\int\limits_{0.2}^{2} \frac{\sin(t)}{t} dt = \int\limits_{0}^{2} \frac{\sin(t)}{t} dt  - \int\limits_{0}^{0.2} \frac{\sin(t)}{t} dt  = \operatorname{Si}(2) - \operatorname{Si}(0.2)$$

То есть справедливо $$\int\limits_{a}^{b} \frac{\sin(t)}{t} dt = \operatorname{Si}(b) - \operatorname{Si}(a)$$

Но почему тогда этот факт никто не пишет? :|

 
 
 
 Re: Интегральный синус/косинус
Сообщение21.05.2014, 02:52 
Limit79 в сообщении #865882 писал(а):
Но почему тогда этот факт никто не пишет?

А зачем? :D

 
 
 
 Re: Интегральный синус/косинус
Сообщение21.05.2014, 02:54 
Otta,
Ну... эээ... не знаю :D как-то логичней что-ли определить первообразную, чем какие-то частные случаи...

А можно ли в самом начале сделать замену $t=x-0.2$, тогда $$\int\limit_{0.2}^{2} \frac{\cos(x)}{(2x+6)^2} dx = \int\limit_{0}^{1.8} \frac{\cos(t-0.2)}{(2t+6.4)^2} dt$$

И дальше тем же путем? Так меньше телодвижений получается :-)


Хотя не, интегральный косинус по-другому определяется, поэтому не вижу особого смысла.

-- 21.05.2014, 04:07 --

Otta
Спасибо за помощь! :-)

 
 
 
 Re: Интегральный синус/косинус
Сообщение21.05.2014, 03:08 
Limit79 в сообщении #865884 писал(а):
ак-то логичней что-ли определить первообразную, чем какие-то частные случаи...

Так Вам именно первообразную и определили. Одну из.
Limit79 в сообщении #865884 писал(а):
А можно ли в самом начале сделать замену

Можно. Телодвижений столько же. ))

 
 
 [ Сообщений: 9 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group