Представление в виде суммы двух квадратов (израильская олим)

[Ktina]

Найдите такие целые положительные числа $a$ и $b$, для которых имеет место равенство:

$$a^2+b^2=123454321$$

То, что именно так выглядит произведение двух репьюнитов, как раз очевидно (для меня, во всяком случае).
А вот то, что 11111 делится на 41, очевидно даже меньше, чем превосходство «Происхождения видов» над воинским уставом.

Зная, что таки делится, можно пробовать решать дальше. Поделив «углом» на 41, получаем 271. Таким образом, $123454321=11111\cdot 11111=271^2\cdot 41^2$

Ну а $41^2=1681$, таблицу квадратов ещё никто не отменял. А уж эта канитель сама по себе представима в виде суммы двух квадратов: $1681=40^2+9^2$, что тут же даёт нам ответ (кстати, а единственный ли?) на задачу:

$$123454321=271^2\cdot 41^2=271^2\cdot (40^2+9^2)=(271\cdot 40)^2+(271\cdot 9)^2=10840^2+2439^2$$

В общем, у меня два вопроса:

1. Как быть участнику олимпиады, забывшему либо изначально не знавшему о делимости на 41? Делить в уме на все простые подряд, пока не получится целое число? И кто этим будет в действительности заниматься на олимпиаде, где дорого каждое мгновение?

2. Единственно ли найденное нами представление? Альфа показывает, что да, но как это доказать?

Пожалуйста, помогите решить.

[svv]

(Оффтоп)

Ktina в теме #84473 писал(а):

(израильская олим)

Давайте согласуем по роду/числу: либо израильская ола, либо израильские олим.

[Ktina]

svv в сообщении #865395 писал(а):

(Оффтоп)

Ktina в теме #84473 писал(а):

(израильская олим)

Давайте согласуем по роду/числу: либо израильская ола, либо израильские олим.

(Оффтоп)

Откуда такие познания в Языке Библии?

[Евгений Машеров]

(Оффтоп)

Она просто чрезвычайно велика и грандиозна, израильская олим
Отсюда и множественное число применительно к единственному объекту, как при именовании библейского Бегемота.

А, заметив, что в правой части квадрат, нельзя вспомнить теорию пифагоровых треугольников?

[Shadow]

Факторизация числа 11111 необходима. Что делать. На олимпиаде иногда приходиться заниматься досадными вещами.
Дальше $271 \equiv 3 \pmod 4$, а сумма двух квадратов имеет такой простой делитель только в четной степени и только когда обе слагаемые имеют такой делитель.
Остается только решить $41=u^2+v^2$

Евгений Машеров в сообщении #865413 писал(а):

нельзя вспомнить теорию пифагоровых треугольников?

[Null]

Перебрать простые числа до 41 это не долго. Если человек хочет побеждать, он должен быть готов к трудностям. К тому же здесь они не велики.
Однажды видел задачу которая проще и быстрее всего решалась в лоб прямым вычислением за 5-10 минут(в школе считается что это трудоемко).

[Shadow]

Ktina в сообщении #865391 писал(а):

Делить в уме на все простые подряд, пока не получится целое число

Null в сообщении #865425 писал(а):

Перебрать простые числа до 41 это не долго

А разве в Израиль на олимпиадах калькуляторы запрещены?

[Ktina]

Shadow в сообщении #865427 писал(а):

А разве в Израиль на олимпиадах калькуляторы запрещены?

Для меня оказалось шоком, что на некоторых разрешены