2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Представление в виде суммы двух квадратов (израильская олим)
Сообщение20.05.2014, 01:08 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Найдите такие целые положительные числа $a$ и $b$, для которых имеет место равенство:
$$a^2+b^2=123454321$$

То, что именно так выглядит произведение двух репьюнитов, как раз очевидно (для меня, во всяком случае).
А вот то, что 11111 делится на 41, очевидно даже меньше, чем превосходство «Происхождения видов» над воинским уставом.

Зная, что таки делится, можно пробовать решать дальше. Поделив «углом» на 41, получаем 271. Таким образом, $123454321=11111\cdot 11111=271^2\cdot 41^2$

Ну а $41^2=1681$, таблицу квадратов ещё никто не отменял. А уж эта канитель сама по себе представима в виде суммы двух квадратов: $1681=40^2+9^2$, что тут же даёт нам ответ (кстати, а единственный ли?) на задачу: $$123454321=271^2\cdot 41^2=271^2\cdot (40^2+9^2)=(271\cdot 40)^2+(271\cdot 9)^2=10840^2+2439^2$$

В общем, у меня два вопроса:

1. Как быть участнику олимпиады, забывшему либо изначально не знавшему о делимости на 41? Делить в уме на все простые подряд, пока не получится целое число? И кто этим будет в действительности заниматься на олимпиаде, где дорого каждое мгновение?

2. Единственно ли найденное нами представление? Альфа показывает, что да, но как это доказать?

Пожалуйста, помогите решить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Представление в виде суммы двух квадратов (израильская олим)
Сообщение20.05.2014, 01:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10910
Crna Gora

(Оффтоп)

Ktina в теме #84473 писал(а):
(израильская олим)
Давайте согласуем по роду/числу: либо израильская ола, либо израильские олим.

 Профиль  
                  
 
 Re: Представление в виде суммы двух квадратов (израильская олим)
Сообщение20.05.2014, 01:38 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
svv в сообщении #865395 писал(а):

(Оффтоп)

Ktina в теме #84473 писал(а):
(израильская олим)
Давайте согласуем по роду/числу: либо израильская ола, либо израильские олим.

(Оффтоп)

Откуда такие познания в Языке Библии?

 Профиль  
                  
 
 Re: Представление в виде суммы двух квадратов (израильская олим)
Сообщение20.05.2014, 08:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9919
Москва

(Оффтоп)

Она просто чрезвычайно велика и грандиозна, израильская олим
Отсюда и множественное число применительно к единственному объекту, как при именовании библейского Бегемота.


А, заметив, что в правой части квадрат, нельзя вспомнить теорию пифагоровых треугольников?

 Профиль  
                  
 
 Re: Представление в виде суммы двух квадратов (израильская олим)
Сообщение20.05.2014, 08:51 


26/08/11
2102
Факторизация числа 11111 необходима. Что делать. На олимпиаде иногда приходиться заниматься досадными вещами.
Дальше $271 \equiv 3 \pmod 4$, а сумма двух квадратов имеет такой простой делитель только в четной степени и только когда обе слагаемые имеют такой делитель.
Остается только решить $41=u^2+v^2$
Евгений Машеров в сообщении #865413 писал(а):
нельзя вспомнить теорию пифагоровых треугольников?

 Профиль  
                  
 
 Re: Представление в виде суммы двух квадратов (израильская олим)
Сообщение20.05.2014, 08:56 
Заслуженный участник


12/08/10
1677
Перебрать простые числа до 41 это не долго. Если человек хочет побеждать, он должен быть готов к трудностям. К тому же здесь они не велики.
Однажды видел задачу которая проще и быстрее всего решалась в лоб прямым вычислением за 5-10 минут(в школе считается что это трудоемко).

 Профиль  
                  
 
 Re: Представление в виде суммы двух квадратов (израильская олим)
Сообщение20.05.2014, 09:00 


26/08/11
2102
Ktina в сообщении #865391 писал(а):
Делить в уме на все простые подряд, пока не получится целое число

Null в сообщении #865425 писал(а):
Перебрать простые числа до 41 это не долго

А разве в Израиль на олимпиадах калькуляторы запрещены?

 Профиль  
                  
 
 Re: Представление в виде суммы двух квадратов (израильская олим)
Сообщение20.05.2014, 09:31 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Shadow в сообщении #865427 писал(а):
А разве в Израиль на олимпиадах калькуляторы запрещены?

Для меня оказалось шоком, что на некоторых разрешены :shock:

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group