fixfix
2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Отношение линейного порядка
Сообщение17.05.2014, 18:41 
Аватара пользователя


03/01/12
32
Пусть $\varphi :A\times A\rightarrow A$ и для всех $x, y , z\in A$, $\varphi(x,y)=\varphi(y,x)$, $\varphi(x, (\varphi(y,z))=\varphi(\varphi(x,y),z)$, $\varphi(x,x)=x$. Докажите, что отношение $x\leq y \Leftrightarrow \varphi(x,y)=x$ есть отношение линейного порядка на $A$.

Может ли кто подсказать, про какое именно отношение нужно доказать, что оно линейного порядка?

 Профиль  
                  
 
 Re: Отношение линейного порядка
Сообщение17.05.2014, 18:59 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
eg__13 в сообщении #864471 писал(а):
про какое именно отношение нужно доказать, что оно линейного порядка?

Про множество решений уравнения $\varphi(x,y)=x$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Отношение линейного порядка
Сообщение17.05.2014, 23:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12065
Казань
eg__13 в сообщении #864471 писал(а):
что оно линейного порядка
Может, все-таки, что оно есть линейный порядок? Кстати, что это такое?

 Профиль  
                  
 
 Re: Отношение линейного порядка
Сообщение18.05.2014, 00:00 
Заслуженный участник


11/05/08
32166

(Оффтоп)


 Профиль  
                  
 
 Re: Отношение линейного порядка
Сообщение18.05.2014, 00:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12065
Казань

(Оффтоп)


 Профиль  
                  
 
 Re: Отношение линейного порядка
Сообщение18.05.2014, 00:21 
Заслуженный участник


11/05/08
32166

(Оффтоп)


 Профиль  
                  
 
 Re: Отношение линейного порядка
Сообщение18.05.2014, 15:00 
Аватара пользователя


03/01/12
32
То есть нужно доказать, что множество решений уравнения $\varphi(x, y)$ линейно упорядочено на множестве $A$ тогда и только тогда, когда $x\leq y$?

provincialka в сообщении #864594 писал(а):
Может, все-таки, что оно есть линейный порядок? Кстати, что это такое?

Бинарное отношение называется отношением линейного порядка, если это отношение:
  • транзитивно
  • антисимметрично
  • связно, т.е. $\forall a, b \in A: a \neq b \Rightarrow a>b$ или $b>a$

 Профиль  
                  
 
 Re: Отношение линейного порядка
Сообщение18.05.2014, 15:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12065
Казань
eg__13 в сообщении #864798 писал(а):
множество решений уравнения $\varphi(x, y)$ линейно упорядочено на множестве $A$ тогда и только тогда, когда $x\leq y$
Бессмысленное высказывание. Что такое по-вашему $x\le y$? Наоборот, мы говорим, что $x\le y$, если пара $(x,y)$ является решением уравнения. И вот для этих-то решений надо доказать три свойства.

-- 18.05.2014, 16:20 --

Представьте себе, например, что $x,y$... - это люди. Или, скажем, книги. Заранее не ясно, какая из них "меньше", какая "больше". Вот мы и пытаемся научиться их сравнивать, задав некоторую функцию $\varphi$. Видимо, она задает некоторое "предшествование".

 Профиль  
                  
 
 Re: Отношение линейного порядка
Сообщение18.05.2014, 15:26 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Я бы начал чуть раньше:

eg__13 в сообщении #864798 писал(а):
множество решений уравнения $\varphi(x, y)$

Где уравнение-то?

provincialka в сообщении #864799 писал(а):
надо доказать три свойства.

Четыре.

 Профиль  
                  
 
 Re: Отношение линейного порядка
Сообщение18.05.2014, 15:52 
Заслуженный участник


20/07/09
4026
МФТИ ФУПМ
ewert в сообщении #864612 писал(а):
А вот насчёт доказательства "линейности" -- даже и лень задумываться.

А это вообще правда? Пусть $|A|=3$, $\varphi(x,x)=x, \varphi(y,y)=y$, а на всех остальных парах значение равно $z$. Не подходит?

 Профиль  
                  
 
 Re: Отношение линейного порядка
Сообщение18.05.2014, 16:05 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Nemiroff в сообщении #864825 писал(а):
Не подходит?

Вроде подходит.

 Профиль  
                  
 
 Re: Отношение линейного порядка
Сообщение18.05.2014, 16:15 
Аватара пользователя


03/01/12
32
ewert в сообщении #864804 писал(а):
Где уравнение-то?

я имел ввиду $\varphi(x,y)=x$
ewert в сообщении #864804 писал(а):
Четыре.

А какое четвертое?

provincialka, спасибо за ваше объяснение! Кажется, я начинаю потихоньку вникать

 Профиль  
                  
 
 Re: Отношение линейного порядка
Сообщение18.05.2014, 18:14 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
eg__13 в сообщении #864834 писал(а):
А какое четвертое?

"Линейность порядка".

Впрочем, у Вас там какая-то путаница в аксиоматике. Стандартно так: линейная упорядоченность есть частичная упорядоченность плюс сравнимость для любой пары, где частичная упорядоченность -- это рефлексивность, транзитивность и антисимметричность.

 Профиль  
                  
 
 Re: Отношение линейного порядка
Сообщение18.05.2014, 21:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12065
Казань
ewert линейность у ТС есть - это третье условие, "связность". Вот рефлексивности он не требует. Честно говоря, я не уверена, что она нужна. Впрочем, в данной задаче она есть, практически объявлена явно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Отношение линейного порядка
Сообщение18.05.2014, 21:26 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
provincialka в сообщении #864983 писал(а):
Честно говоря, я не уверена, что она нужна.

Нужна, иначе равенство не включается в отношение, а по определению линейной упорядоченности должно. Ну есть же стандартные формулировки, и рефлексивность в них -- неотъемлемая часть. Уж очевидна она там, не очевидна -- вопрос другой.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 18 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group