Отношение линейного порядка

[eg__13]

Пусть $\varphi :A\times A\rightarrow A$ и для всех $x, y , z\in A$, $\varphi(x,y)=\varphi(y,x)$, $\varphi(x, (\varphi(y,z))=\varphi(\varphi(x,y),z)$, $\varphi(x,x)=x$. Докажите, что отношение $x\leq y \Leftrightarrow \varphi(x,y)=x$ есть отношение линейного порядка на $A$.

Может ли кто подсказать, про какое именно отношение нужно доказать, что оно линейного порядка?

[ewert]

eg__13 в сообщении #864471 писал(а):

про какое именно отношение нужно доказать, что оно линейного порядка?

Про множество решений уравнения $\varphi(x,y)=x$.

[provincialka]

eg__13 в сообщении #864471 писал(а):

что оно линейного порядка

Может, все-таки, что оно есть линейный порядок? Кстати, что это такое?

[ewert]

(Оффтоп)

provincialka в сообщении #864594 писал(а):

Может, все-таки, что оно есть линейный порядок?

Нет, там всё нормально; там просто пара слов пропущена, подразумеваемая по предыдущему контексту. А вот рассогласование мужского и среднего родов -- как раз не есть порядок; ни линейный, ни даже антилинейный.

[provincialka]

(Оффтоп)

Ну, рода теперь модно рассогласовывать - посмотрите Евровидение Просто, когда человек задает вопрос на таком уровне, могут возникнуть подозрения... А определение линейного порядка все равно ведь нужно, чтобы что-то доказывать.

[ewert]

(Оффтоп)

provincialka в сообщении #864600 писал(а):

А определение линейного порядка все равно ведь нужно, чтобы что-то доказывать.

Естественно. Я, кстати, сам в задачку вникать не пытался. Однако почти уверен, что аксиомы собственно порядка там должны проскакивать на автомате (уж одна-то точно). А вот насчёт доказательства "линейности" -- даже и лень задумываться.

[eg__13]

То есть нужно доказать, что множество решений уравнения $\varphi(x, y)$ линейно упорядочено на множестве $A$ тогда и только тогда, когда $x\leq y$?

provincialka в сообщении #864594 писал(а):

Может, все-таки, что оно есть линейный порядок? Кстати, что это такое?

Бинарное отношение называется отношением линейного порядка, если это отношение:

• транзитивно
• антисимметрично
• связно, т.е. $\forall a, b \in A: a \neq b \Rightarrow a>b$ или $b>a$

[provincialka]

eg__13 в сообщении #864798 писал(а):

множество решений уравнения $\varphi(x, y)$ линейно упорядочено на множестве $A$ тогда и только тогда, когда $x\leq y$

Бессмысленное высказывание. Что такое по-вашему $x\le y$? Наоборот, мы говорим, что $x\le y$, если пара $(x,y)$ является решением уравнения. И вот для этих-то решений надо доказать три свойства.

-- 18.05.2014, 16:20 --

Представьте себе, например, что $x,y$... - это люди. Или, скажем, книги. Заранее не ясно, какая из них "меньше", какая "больше". Вот мы и пытаемся научиться их сравнивать, задав некоторую функцию $\varphi$. Видимо, она задает некоторое "предшествование".

[ewert]

Я бы начал чуть раньше:

eg__13 в сообщении #864798 писал(а):

множество решений уравнения $\varphi(x, y)$

Где уравнение-то?

provincialka в сообщении #864799 писал(а):

надо доказать три свойства.

Четыре.

[Nemiroff]

ewert в сообщении #864612 писал(а):

А вот насчёт доказательства "линейности" -- даже и лень задумываться.

А это вообще правда? Пусть $|A|=3$, $\varphi(x,x)=x, \varphi(y,y)=y$, а на всех остальных парах значение равно $z$. Не подходит?

[ewert]

Nemiroff в сообщении #864825 писал(а):

Не подходит?

Вроде подходит.

[eg__13]

ewert в сообщении #864804 писал(а):

Где уравнение-то?

я имел ввиду $\varphi(x,y)=x$

ewert в сообщении #864804 писал(а):

Четыре.

А какое четвертое?

provincialka, спасибо за ваше объяснение! Кажется, я начинаю потихоньку вникать

[ewert]

eg__13 в сообщении #864834 писал(а):

А какое четвертое?

"Линейность порядка".

Впрочем, у Вас там какая-то путаница в аксиоматике. Стандартно так: линейная упорядоченность есть частичная упорядоченность плюс сравнимость для любой пары, где частичная упорядоченность -- это рефлексивность, транзитивность и антисимметричность.

[provincialka]

ewert линейность у ТС есть - это третье условие, "связность". Вот рефлексивности он не требует. Честно говоря, я не уверена, что она нужна. Впрочем, в данной задаче она есть, практически объявлена явно.

[ewert]

provincialka в сообщении #864983 писал(а):

Честно говоря, я не уверена, что она нужна.

Нужна, иначе равенство не включается в отношение, а по определению линейной упорядоченности должно. Ну есть же стандартные формулировки, и рефлексивность в них -- неотъемлемая часть. Уж очевидна она там, не очевидна -- вопрос другой.