Отношение линейного порядка

[provincialka]

Здесь уже был спор по поводу терминологии в теории отношений. В тех книгах, которыми пользовалась я, определения были другими. Возможно, это касается и ТС, так как он в условии "связности" учитывает только $a\ne b$.
Впрочем, в контексте этой задачи это не имеет никакого значения, так как рефлексивность как раз очевидна, антисимметрия очевидна почти сразу. А вот "связность" как раз, похоже, не выполняется, как показывает пример Nemiroff.

-- 18.05.2014, 22:45 --

Можно пойти в обратном направлении. Будем считать, что порядок (частичный) уже построен. В качестве $\varphi(x,y)$ выберем некоторый элемент, предшествующий (в смысле этого порядка) обоим. Так сказать "ближайший предшествующий". Если они сравнимы - выбираем один из них ("меньший"), если же нет - элемент, предшествующий обоим. Это возможно, для некоторых специальных видов частичного порядка: когда диаграмма Хассе имеет вид дерева.

Получается, что существуют частичные (не линейные) порядки, порождаемые некоторым отображением $\varphi$

[ewert]

(Оффтоп)

provincialka в сообщении #865005 писал(а):

В тех книгах, которыми пользовалась я, определения были другими. Возможно, это касается и ТС, так как он в условии "связности" учитывает только $a\ne b$.

Спорить с выбором аксиоматики, конечно, довольно глупо; но я всё-таки скажу. Гораздо лепее считать линейную упорядоченность частным случаем частичной (а она по умолчанию нестрогая), нежели сочинять специально для неё некий спецнабор аксиом. Я тут махист; я предпочитаю экономить.

[provincialka]

ewert, да ради бога. Для меня раньше частичная упорядоченность делилась на типы: нестрогая (антисимметричная) и строгая, как $<$, (асимметричная. Причем асимметричность достаточно заменить арефлесивностью). Но, чтобы не плодить сущности, согласна рассматривать только рефлексивные порядки.