Изоморфизм групп.

[misha89]

Доказать изоморфизм групп $<G, \cdot, ^{-1}>$ и $<G, , ^{-1}>$, где $a b = b \cdot a$ для любых $a, b \in G$.
Везде, вместо операции "Пустой символ" используется символ "звездочка", форум не разрешает мне ее писать.

Я начинаю с гомоморфизма, но, видимо, что-то не так пишу или не до конца его выполнимость показываю, мне постоянно возвращают задание. Я уже смысла его даже не понимаю.

Подскажите, либо как с другой стороны зайти, либо что я упускаю в решении, либо оно не закончено (именно гомоморфизм не закончен).

$\varphi(a) = b, \varphi(b) = a; \varphi(a \cdot b) = b a; \varphi(a \cdot b) = \varphi(b) \varphi(a) = \varphi(a) \cdot \varphi(b) = a \cdot b.$

Получается тождественное отображение. Верно? Что-то упущено, не доделано?
Мне говорили, что надо просто показать, что есть какой-то вариант гомоморфизма, поэтому я так жестко задал $\varphi(a) = b, \varphi(b) = a$. Но еще мне говорили, что я просто переписал определение и все, а что тут еще можно сделать, имея лишь 2 элемента? Можно этих букв всего латинского алфавита наплодить, а толку?
Не понимаю. Растерян.

[Narn]

misha89 в сообщении #863722 писал(а):

либо что я упускаю в решении, либо оно не закончено (именно гомоморфизм не закончен).

$\varphi(a) = b, \varphi(b) = a; \varphi(a \cdot b) = b a; \varphi(a \cdot b) = \varphi(b) \varphi(a) = \varphi(a) \cdot \varphi(b) = a \cdot b.$

Получается тождественное отображение. Верно? Что-то упущено, не доделано?
Мне говорили, что надо просто показать, что есть какой-то вариант гомоморфизма, поэтому я так жестко задал $\varphi(a) = b, \varphi(b) = a$. Но еще мне говорили, что я просто переписал определение и все, а что тут еще можно сделать, имея лишь 2 элемента?

Вы в своем решении не задали никакого отображения: кто такие $a$, $b$, которые вы переводите друг в друга? Это не какие-то фиксированные элементы, которые вам дали в условии.

[provincialka]

Звездочку можно писать так: \ast, получается $\ast$. А отображение надо задать для всех элементов группы. То есть отображение - некоторая операция, переводящая элемент группы в (другой) элемент. Ну, как бы это подсказать... А какие вообще операции на группе вы знаете (можете придумать)?
Посмотрите, может, какая-то из них меняет порядок сомножителей...

[misha89]

provincialka в сообщении #863762 писал(а):

А отображение надо задать для всех элементов группы. То есть отображение - некоторая операция, переводящая элемент группы в (другой) элемент. Ну, как бы это подсказать... А какие вообще операции на группе вы знаете (можете придумать)?
Посмотрите, может, какая-то из них меняет порядок сомножителей...

Тут есть 2 операции: "точка" и "звездочка"; обратные элементы и коммутативность относительно бинарных операций.

$ $$G = \{ x_1, \dots, x_n \}. $$$$ $$\varphi(x_i) = x_j, i \ne j.$$$$ $$ \varphi(x_i \cdot x_j) = \varphi( x_i) \ast \varphi(x_j ) ( =x_j \ast x_i =x_i \cdot x_j). $$$

Вот так ведь получается для всех элементов? То, что надо?

Извините за строчную запись, не пойму как на новую строку перейти.

[provincialka]

Вообще ничего не поняла... Что означают $i$ и $j$, почему они не равны? Как связаны между собой?
И при чем тут коммутативность?

Правильно ли я понимаю задание? Две группы состоят из одних и тех же элементов, только операции у них немного разные. Но они связаны между собой: $a\cdot b=b\ast a$. Надо найти отображение $\varphi$ множества $G$ в себя.
Запишите соотношение, которое говорит о том, что $\varphi$ - изоморфизм.

[Narn]

Давайте я все же попытаюсь разъяснить, почему то, что вы пишете, не что ответом к задаче не является, а даже и смысла не имеет. Вот известно, что $ x_1 \cdot x_2 = x_2 \ast x_1 $ и $ x_1 \cdot x_3 = x_3 \ast x_1 $. Я смотрю на первое из этих равенств, и, если следовать вашим записям, тут $ i = 1$, $j = 2$, вроде я должен $x_1$ отобразить в $x_2$, а $x_2$ в $x_1$. А потом я смотрю на второе равенство, тут $ i = 1$, $j = 3$, и ваше "правило" мне говорит, что я должен $x_1$ отправлять в $x_3$. Не вяжется.

Нужное вам отображение $\varphi$ задается на самом деле настолько просто, что трудно подсказать прозрачнее, чем это уже сделала provincialka.

[Deggial]

misha89 в сообщении #863722 писал(а):

вместо операции "Пустой символ" используется символ "звездочка", форум не разрешает мне ее писать.

$\star, \ast$: $\star, \ast$
Писать звездочку можно, но её нежелательно использовать для обозначения обычного умножения.

[misha89]

provincialka,

$\varphi(a) = a, \varphi(b) = b; \varphi(a \cdot b) = a \ast b; $
Проверим.
$G = \{ x_1, \cdots, x_n \}, \varphi(x_1 \cdot x_2) = \varphi(x_1) \ast \varphi(x_2) = x_1 \ast x_2.$
Получается, что каждый элемент отображается сам в себя. Это и есть доказательство гомоморфизма?

Инъективность логична: если $a \ne b \Rightarrow \varphi(a) \ne \varphi(b).$

Сюръективность: Для любого образа существует прообраз. Тоже логично.

Верно?

[arseniiv]

И где здесь определение гомоморфизма? Оно должно звучать как-то так: «функция $\varphi\colon G_1\to G_2$ — гомоморфизм, если …». Если что?

[Nemiroff]

Давайте попробуем иначе:
доказать, что группы $G_1=\langle \mathbb R, +\rangle$ и $G_2=\langle \mathbb R_+,\cdot\rangle$ изоморфны.

Пусть $\varphi: G_1 \rightarrow G_2$, так, что $\varphi(x)=e^x$.
Прежде всего, для любых $x,y\in G_1\; \varphi(x+y)=e^{x+y}=e^x\cdot e^y=\varphi(x)\cdot \varphi(y)$ — поэтому $\varphi$ есть гомоморфизм.

Далее нужно как-нибудь доказать, что экспонента — взаимно однозначное отображение. К примеру, экспонента строго возрастает, а потому взаимно однозначна. Либо, можно просто указать для каждого положительного числа его прообраз — натуральный логарифм.

У нас получился взаимно однозначный гомоморфизм, т. е, изоморфизм.

Примерно так делаются подобные задания.

[misha89]

Nemiroff, я так же задал некое отображение и, как вы, проверил его.
Является ли $\varphi(x) = x$ гомоморфизмом в моей задаче?

[arseniiv]

Нет. $\varphi(x\cdot y) = x\cdot y = y * x = \varphi(y) * \varphi(x) \ne \varphi(x) * \varphi(y)$.

-- Сб май 17, 2014 02:29:21 --

Точнее, только в абелевых группах. А тут группа по условию любая.

[provincialka]

Кроме тождественного отображения есть и другие взаимно-однозначные. Например, умножение на постоянный элемент, $a\to c\cdot a$ взаимно однозначно. Но для него не выполняется важное свойство изоморфизма.

[misha89]

arseniiv в сообщении #864123 писал(а):

Нет. $\varphi(x\cdot y) = x\cdot y = y * x = \varphi(y) * \varphi(x) \ne \varphi(x) * \varphi(y)$.

-- Сб май 17, 2014 02:29:21 --

Не $\varphi(x\cdot y) = y * x$, а $\varphi(x\cdot y) = x * y$.

У меня написано $\varphi(x) = x $.

[Xaositect]

misha89 в сообщении #864127 писал(а):

У меня написано $\varphi(x) = x $.

Ну так это же написано для всех $x$. Значит $\varphi(x) = x$, $\varphi(y) = y$, а $\varphi(x\cdot y) = x\cdot y$.