2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Сравнение интеграла с числом.
Сообщение14.05.2014, 15:07 


22/07/12
560
Нужно сравнить $\int\limits_0^\pi e^{\sin^2x}dx$ и число $3\pi/2$. Можно, конечно, попробовать взять неопределённый интеграл и посчитать определённый, но что-то мне подсказывает, что тут можно обойтись без этого, да и не так-то просто взять этот интеграл. Вольфрам вообще не даёт ответ для неопределённого интеграла. Я пробовал оценивать его сверху и снизу, получилось, что:
$$\pi\leqslant\int\limits_0^\pi e^{\sin^2x}dx \leqslant e\pi$$
Но это ничего мне не даёт.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сравнение интеграла с числом.
Сообщение14.05.2014, 15:22 
Заслуженный участник


25/02/08
2961
Интеграл то взять можно, он выражается через модифицированную функцию Бесселя первого рода. По определению $\[{I_n}(z) = \frac{1}{\pi }\int\limits_0^\pi  {{e^{z\cos \xi }}\cos (n\xi )d\xi } \]$. Тогда

$\[\begin{array}{l}
\int\limits_0^\pi  {{e^{{{\sin }^2}x}}dx}  = \int\limits_0^\pi  {{e^{\frac{1}{2}(1 - \cos 2x)}}dx}  = {e^{\frac{1}{2}}}\int\limits_0^\pi  {{e^{ - \frac{1}{2}\cos 2x}}dx}  = \\
 = {e^{\frac{1}{2}}}\int\limits_0^\pi  {{e^{ - \frac{1}{2}\cos \xi }}d\xi }  = \pi \sqrt e {I_0}( - \frac{1}{2}) = \pi \sqrt e {I_0}(\frac{1}{2})
\end{array}\]$

Учитывая, что $\[{I_0}(x) > 1\]$, и $\[\sqrt e \pi  > \frac{{3\pi }}{2}\]$, то $\[\int\limits_0^\pi  {{e^{{{\sin }^2}x}}dx}  > \frac{{3\pi }}{2}\]$

 Профиль  
                  
 
 Re: Сравнение интеграла с числом.
Сообщение14.05.2014, 15:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Хотели явно не этого.
Разложите экспоненту в ряд, возьмите два...

 Профиль  
                  
 
 Re: Сравнение интеграла с числом.
Сообщение14.05.2014, 15:35 


10/02/11
6786
самое смешное в этой задаче, что вычисление на компе является в данном случае доказательным

 Профиль  
                  
 
 Re: Сравнение интеграла с числом.
Сообщение15.05.2014, 09:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12065
Казань
$\int\limits_0^\pi e^{\sin^2x}dx=2\int\limits_0^{\frac\pi2} e^{\sin^2x}dx=\int\limits_0^{\frac\pi2} e^{\sin^2x}dx +\int\limits_0^{\frac\pi2} e^{\cos^2x}dx$
Осталось оценить минимум функции $ e^{\sin^2x}+e^{\cos^2x}$. Он достигается при $x=\pi/4$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сравнение интеграла с числом.
Сообщение15.05.2014, 09:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5492
Нов-ск
Проинтегрируйте $e^{\sin^2x} > 1+\sin^2x$ (как уже подсказывалось)

 Профиль  
                  
 
 Re: Сравнение интеграла с числом.
Сообщение15.05.2014, 10:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12065
Казань
Если скомбинировать два последних совета, то и интегрировать не надо! Потому что $1+\sin^2x+1+\cos^2x$ как раз равно 3.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group