2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Сравнение интеграла с числом.
Сообщение14.05.2014, 15:07 
Нужно сравнить $\int\limits_0^\pi e^{\sin^2x}dx$ и число $3\pi/2$. Можно, конечно, попробовать взять неопределённый интеграл и посчитать определённый, но что-то мне подсказывает, что тут можно обойтись без этого, да и не так-то просто взять этот интеграл. Вольфрам вообще не даёт ответ для неопределённого интеграла. Я пробовал оценивать его сверху и снизу, получилось, что:
$$\pi\leqslant\int\limits_0^\pi e^{\sin^2x}dx \leqslant e\pi$$
Но это ничего мне не даёт.

 
 
 
 Re: Сравнение интеграла с числом.
Сообщение14.05.2014, 15:22 
Интеграл то взять можно, он выражается через модифицированную функцию Бесселя первого рода. По определению $\[{I_n}(z) = \frac{1}{\pi }\int\limits_0^\pi  {{e^{z\cos \xi }}\cos (n\xi )d\xi } \]$. Тогда

$\[\begin{array}{l}
\int\limits_0^\pi  {{e^{{{\sin }^2}x}}dx}  = \int\limits_0^\pi  {{e^{\frac{1}{2}(1 - \cos 2x)}}dx}  = {e^{\frac{1}{2}}}\int\limits_0^\pi  {{e^{ - \frac{1}{2}\cos 2x}}dx}  = \\
 = {e^{\frac{1}{2}}}\int\limits_0^\pi  {{e^{ - \frac{1}{2}\cos \xi }}d\xi }  = \pi \sqrt e {I_0}( - \frac{1}{2}) = \pi \sqrt e {I_0}(\frac{1}{2})
\end{array}\]$

Учитывая, что $\[{I_0}(x) > 1\]$, и $\[\sqrt e \pi  > \frac{{3\pi }}{2}\]$, то $\[\int\limits_0^\pi  {{e^{{{\sin }^2}x}}dx}  > \frac{{3\pi }}{2}\]$

 
 
 
 Re: Сравнение интеграла с числом.
Сообщение14.05.2014, 15:35 
Аватара пользователя
Хотели явно не этого.
Разложите экспоненту в ряд, возьмите два...

 
 
 
 Re: Сравнение интеграла с числом.
Сообщение14.05.2014, 15:35 
самое смешное в этой задаче, что вычисление на компе является в данном случае доказательным

 
 
 
 Re: Сравнение интеграла с числом.
Сообщение15.05.2014, 09:35 
Аватара пользователя
$\int\limits_0^\pi e^{\sin^2x}dx=2\int\limits_0^{\frac\pi2} e^{\sin^2x}dx=\int\limits_0^{\frac\pi2} e^{\sin^2x}dx +\int\limits_0^{\frac\pi2} e^{\cos^2x}dx$
Осталось оценить минимум функции $ e^{\sin^2x}+e^{\cos^2x}$. Он достигается при $x=\pi/4$.

 
 
 
 Re: Сравнение интеграла с числом.
Сообщение15.05.2014, 09:48 
Аватара пользователя
Проинтегрируйте $e^{\sin^2x} > 1+\sin^2x$ (как уже подсказывалось)

 
 
 
 Re: Сравнение интеграла с числом.
Сообщение15.05.2014, 10:20 
Аватара пользователя
Если скомбинировать два последних совета, то и интегрировать не надо! Потому что $1+\sin^2x+1+\cos^2x$ как раз равно 3.

 
 
 [ Сообщений: 7 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group