Сравнение интеграла с числом.

[main.c]

Нужно сравнить $\int\limits_0^\pi e^{\sin^2x}dx$ и число $3\pi/2$. Можно, конечно, попробовать взять неопределённый интеграл и посчитать определённый, но что-то мне подсказывает, что тут можно обойтись без этого, да и не так-то просто взять этот интеграл. Вольфрам вообще не даёт ответ для неопределённого интеграла. Я пробовал оценивать его сверху и снизу, получилось, что:

$$\pi\leqslant\int\limits_0^\pi e^{\sin^2x}dx \leqslant e\pi$$

Но это ничего мне не даёт.

[Ms-dos4]

Интеграл то взять можно, он выражается через модифицированную функцию Бесселя первого рода. По определению $\[{I_n}(z) = \frac{1}{\pi }\int\limits_0^\pi {{e^{z\cos \xi }}\cos (n\xi )d\xi } \]$. Тогда

$\[\begin{array}{l} \int\limits_0^\pi {{e^{{{\sin }^2}x}}dx} = \int\limits_0^\pi {{e^{\frac{1}{2}(1 - \cos 2x)}}dx} = {e^{\frac{1}{2}}}\int\limits_0^\pi {{e^{ - \frac{1}{2}\cos 2x}}dx} = \\ = {e^{\frac{1}{2}}}\int\limits_0^\pi {{e^{ - \frac{1}{2}\cos \xi }}d\xi } = \pi \sqrt e {I_0}( - \frac{1}{2}) = \pi \sqrt e {I_0}(\frac{1}{2}) \end{array}\]$

Учитывая, что $\[{I_0}(x) > 1\]$, и $\[\sqrt e \pi > \frac{{3\pi }}{2}\]$, то $\[\int\limits_0^\pi {{e^{{{\sin }^2}x}}dx} > \frac{{3\pi }}{2}\]$

[ИСН]

Хотели явно не этого.
Разложите экспоненту в ряд, возьмите два...

[Oleg Zubelevich]

самое смешное в этой задаче, что вычисление на компе является в данном случае доказательным

[provincialka]

$\int\limits_0^\pi e^{\sin^2x}dx=2\int\limits_0^{\frac\pi2} e^{\sin^2x}dx=\int\limits_0^{\frac\pi2} e^{\sin^2x}dx +\int\limits_0^{\frac\pi2} e^{\cos^2x}dx$
Осталось оценить минимум функции $ e^{\sin^2x}+e^{\cos^2x}$. Он достигается при $x=\pi/4$.

[TOTAL]

Проинтегрируйте $e^{\sin^2x} > 1+\sin^2x$ (как уже подсказывалось)

[provincialka]

Если скомбинировать два последних совета, то и интегрировать не надо! Потому что $1+\sin^2x+1+\cos^2x$ как раз равно 3.