Уравнение x^4 - x^3 -1=0

[Trius]

Решить уравнение $x^{4} - x^{3} -1=0$

[Алексей К.]

-0.8191725...., -.21944747.....; ну и ещё 2 комплексных.

[Trius]

Может кто-то напишет более подробное решение?

[Алексей К.]

Можно попробовать применить стандартный метод, изложенный в любом справочнике.
Громоздко, лениво, некоторые считают, что это бесполезно --- но с этим не могу согласиться.
Иногда помогало.
А что Вам мешает? Вы его не знаете? Тоже лень?
Начните --- попробуем довести до ума...

[Taras]

Думаю, что Алексей К. говорил о методе Феррари, о которым вы можете прочитать здесь
Алексеев В.Б. — Теорема Абеля в задачах и решениях

[Brukvalub]

Trius писал(а):

Может кто-то напишет более подробное решение?

Это решение получено в каком-то из пакетов компьютерных математических вычислений. "Вручную" это уравнение не решить.

[Алексей К.]

Brukvalub писал(а):

"Вручную" это уравнение не решить.

Как же не решить? Терпение, свободное время и справочник под рукой... И всё!
Отмените пожалста свой приговор, иначе вечером прийдётся заняться.
Хотя, конечно, эти пакеты и эту процедурку умеют делать, и даже в LaTeXe результат выплюнут...

[Brukvalub]

Алексей К. писал(а):

Отмените пожалста свой приговор

Уговорили - отменяю! Просто я и представить себе не мог, что в 21-м веке такие уравнения решают вручную по формулам Феррари . Может, Вы и корни вручную извлекали?

[Алексей К.]

Напомню одно любопытное замечание (сделанное в связи с очередным манифестом от PSP)

lofar как-то писал(а):

2) Для уравнений 3-й и 4-й степени "замкнутые формулы" для корня существуют. Вместе с тем, даже в этих случаях возникает одна проблема практического характера (о которой часто забывают): простое решение может задаваться исключительно громоздкой формулой. Например, кубическое уравнение $x^3+3x-4=0$ имеет единственный вещественный корень равный $1$. В то же время, формула Кардано в качестве решения предлагает выражение $\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}$ --- поди догадайся, что это $1$!

Brukvalub писал(а):

Просто я и представить себе не мог, что в 21-м веке такие уравнения решают вручную по формулам Феррари

Других способов в 21 веке вроде как не появилось. Мне запомнилась аналогичная бочка, которую Вы недавно (искать сюжет не буду) накатили на формулы Кардано.
Но вот иногда хочется посмотреть на натуральное уравнение второй эвольвенты окружности... И когда задачка из природы возникает, то случается (реже, чем хотелось бы) в процессе решения чего-то упростить, увидеть. Типа увидеть эту самую единичку, которую пакет на раскусит.
Но до этого --- в течение лет 25 --- ежели я упирался в кубическое/тетрическое уравнение, то уходил от задачи. Теперь пытаюсь сначала поковырять её. Но не методами PSP (21 век), а по старинке --- Кардано, Феррари...

Итак, делаем подстановку $x=\frac{y+1}{4}$. Получаем $y^4-6y^2-8y-259=0$. Глубокий вздох --- и пишем кубическую резольвенту...

[Lion]

Приношу извинение за offtop, но все-таки хочется развеять это общее заблуждение, созданное Гиндикиным.
Как догадаться, что $\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}=1$, не используя формулу Кардано? Очень просто. Оба корня извлекаются!
$\sqrt[3]{2\pm\sqrt{5}}=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}$, откуда все и следует.
Может, и в исходном уравнении можно что-то такое сделать?

[Алексей К.]

А в чём заблуждение? Да догадаться не проблема, имея какой-то опыт возни с этим...
Речь о том и идёт --- что удаётся догадаться и иногда что-то упростить.

Добавлено спустя 1 минуту 29 секунд:

Lion писал(а):

Может, и в исходном уравнении можно что-то такое сделать?

Ну, сначала порешать надо...

[Iliya]

$ x^4-x^3-1 = (x+.8191725134)*(x-.2194474721+.9144736630*I)*(x-.2194474721-.9144736630*I)*(x-1.380277569) = 0 $

[Алексей К.]

Но, любезный, --- эту шутку я уже пошутил в самом начале.

Добавлено спустя 4 минуты 21 секунду:

А --- понял, я умудрился со вторым корнем лопухнуться... Но никто и не заметил...

[Iliya]

Боюсь, что меня забанят, но первый корень выглядит так (без упрощений):
$ 1/4+1/12\,\sqrt {{\frac {9\,\sqrt [3]{108+12\,\sqrt {3}\sqrt {283}}-6 \, \left( 108+12\,\sqrt {3}\sqrt {283} \right) ^{2/3}+288}{\sqrt [3]{ 108+12\,\sqrt {3}\sqrt {283}}}}}+1/12\,\sqrt {3}\sqrt {2}\sqrt {{ \frac {3\,\sqrt [3]{108+12\,\sqrt {3}\sqrt {283}}\sqrt {{\frac {9\, \sqrt [3]{108+12\,\sqrt {3}\sqrt {283}}-6\, \left( 108+12\,\sqrt {3} \sqrt {283} \right) ^{2/3}+288}{\sqrt [3]{108+12\,\sqrt {3}\sqrt {283} }}}}+\sqrt {{\frac {9\,\sqrt [3]{108+12\,\sqrt {3}\sqrt {283}}-6\, \left( 108+12\,\sqrt {3}\sqrt {283} \right) ^{2/3}+288}{\sqrt [3]{108 +12\,\sqrt {3}\sqrt {283}}}}} \left( 108+12\,\sqrt {3}\sqrt {283} \right) ^{2/3}-48\,\sqrt {{\frac {9\,\sqrt [3]{108+12\,\sqrt {3} \sqrt {283}}-6\, \left( 108+12\,\sqrt {3}\sqrt {283} \right) ^{2/3}+ 288}{\sqrt [3]{108+12\,\sqrt {3}\sqrt {283}}}}}+9\,\sqrt [3]{108+12\, \sqrt {3}\sqrt {283}}}{\sqrt [3]{108+12\,\sqrt {3}\sqrt {283}}\sqrt {{ \frac {9\,\sqrt [3]{108+12\,\sqrt {3}\sqrt {283}}-6\, \left( 108+12\, \sqrt {3}\sqrt {283} \right) ^{2/3}+288}{\sqrt [3]{108+12\,\sqrt {3} \sqrt {283}}}}}}}} $

[нг]

Iliya
Банить Вас никто не будет. Просто подобные длинные формулы следует разбивать (например, на +, -, и т.п.). И ещё — упрощать надо.