Операторы рождения/уничтожения

[Munin]

Alex-Yu в сообщении #860308 писал(а):

или в одной моде возбуждение исчезает, а в другой возникает.

Нет, именно буквально частица исчезает, и возникает другая. (Иногда - того же типа, но в другом состоянии. Иногда - даже другого типа, это называется превращением частиц.)

Ещё пример исчезновения разницы между частицами и состояниями: осцилляции. Нейтринные осцилляции, $K$-мезонные осцилляции.

Ещё можно посмотреть на движение фотона в твёрдом теле. Можно считать, что фотон замедляется (показатель преломления $n>1$), а можно считать, что он постоянно поглощается - переизлучается - снова поглощается, и в результате выходит совсем не тот фотон, который входил. А можно то же самое рассказать, произнося слова не "фотон", а "возбуждение в моде", и никакой разницы не будет.

-- 07.05.2014 23:22:23 --

Alex-Yu в сообщении #860308 писал(а):

Частица --- это не волна.

В КМ волна.

[Alex-Yu]

Munin в сообщении #860302 писал(а):

Координаты будут?

Конечно будут. С некоторой неопределенностью, но будут. Я их даже измерить могу, хотя после измерения состояние и "улетит черт знает куда".

-- Чт май 08, 2014 02:24:39 --

Munin в сообщении #860302 писал(а):

Непонятно, почему вы легко отождествляете одно, но спотыкаетесь на другом.

Ни на чем я не спотыкаюсь. Я просто понимаю что к чему.

-- Чт май 08, 2014 02:26:03 --

Munin в сообщении #860302 писал(а):

Здесь, на самом деле, в КТП тоже бывают сложности.

и т.д. Это все мне и самому известно.

-- Чт май 08, 2014 02:27:08 --

Munin в сообщении #860313 писал(а):

Ещё пример исчезновения разницы между частицами и состояниями: осцилляции. Нейтринные осцилляции, $K$-мезонные осцилляции.

Ещё можно посмотреть на движение фотона в твёрдом теле. Можно считать, что фотон замедляется (показатель преломления $n>1$), а можно считать, что он постоянно поглощается - переизлучается - снова поглощается, и в результате выходит совсем не тот фотон, который входил. А можно то же самое рассказать, произнося слова не "фотон", а "возбуждение в моде", и никакой разницы не будет.

Это Вы кому объясняете? Если ТС, то понятно. Если мне -- то смешно.

-- Чт май 08, 2014 02:29:12 --

Munin в сообщении #860313 писал(а):

Alex-Yu в сообщении #860308
писал(а):
Частица --- это не волна.
В КМ волна.

Глупости. Как раз в КМ ничего подобного нет. В частности волновая функция это никак не "распространяющееся в пространстве колебание" т.е. волна. В частности, увеличенная в два, к примеру, раза по амплитуде волна --- это уже другая волна. А вот если то же самое сделать с волновой функцией -- от этого состояние не изменится.

[warlock66613]

Alex-Yu в сообщении #860315 писал(а):

В частности волновая функция это никак не "распространяющееся в пространстве колебание" т.е. волна.

Не очень понятно какое вообще отношение имеет частица к волновой функции. Частица - это такое состояние поля ("рябь"). Какие волновые функции, при чём тут они?

[Munin]

Alex-Yu
Считаю дальнейший разговор бесполезным. Вы выдаёте ваше имхо за единственно верную истину, в то время как я хорошо знаю, что это не так. В таком модусе я ничего не добьюсь.

[Alex-Yu]

warlock66613 в сообщении #860324 писал(а):

Частица - это такое состояние поля

Если кто и станет с этим спорить, то только не я. Но волны тут просто ни при чем. У волны, между прочем, фаза должна быть определенная. А у поля в состоянии частицы фаза (полевой функции) не определена. Чтобы была определена фаза нужно устроить суперпозицию состояний с разным числом частиц. Но речь шла о КМ а не о КТП.

-- Чт май 08, 2014 02:50:33 --

Munin в сообщении #860332 писал(а):

Считаю дальнейший разговор бесполезным.

Совершенно верно, бессмысленный разговор.

[Munin]

Alex-Yu в сообщении #860333 писал(а):

У волны, между прочем, фаза должна быть определенная.

Это всё подмена понятия "волны" понятием "нескольких конкретных волн, которые имеет в виду Alex-Yu". Фаза у волновой функции, кстати, определённая.

Alex-Yu в сообщении #860333 писал(а):

А у поля в состоянии частицы фаза не определена. ... Но речь шла о КМ а не о КТП.

Взаимно противоречивые параграфы.

[warlock66613]

Alex-Yu в сообщении #860333 писал(а):

У волны, между прочем, фаза должна быть определенная.

Мне кажется вы пользуетесь каким-то очень узким определением понятия "волна". Какая от этого может быть польза мне неясно.

[Alex-Yu]

warlock66613 в сообщении #860346 писал(а):

Мне кажется вы пользуетесь каким-то очень узким определением понятия "волна". Какая от этого может быть польза мне неясно.

Мне тоже не ясно какой смысл использовать чисто классическое понятие волны в квантовой физике. Но не я же это затеял

В квантовой физике есть состояния, переходы, амплитуды и т.д. Вот понятие частицы --- есть, причем не тождественное классическому понятию частицы (именно частица -- специфическое состояние квантового поля, как Вы и сказали). В принципе здесь можно назвать волной глауберговское состояние квантового поля. Или дайте другое определение понятия волны в рамках КТП. Если знаете таковое. Но в рамках КТП. Глауберговское состояние --- это состояние отличное от состояния частицы. Так что частица --- не волна.

[Nirowulf]

manul91 в сообщении #860177 писал(а):

Далее там написано "замечаем что энергия пустого состояния равна $\frac{h\omega}{2}$ а не нулю; такую аномалию можно избежать если в качестве оператора энергии системы взять не H а $H-\frac{h\omega}{2}$".
Но такое вычитание уровня энергии не релятивистки инвариантно - я понимаю что у-е Шредингера не релятивисткое - и может быть в этом и загвоздка (хотя ондолжно быть совершенно точным для ниских скоростей?) - как это разрешается в КТП? Или в КТП энергия вакуума так же положительна?

Этот вопрос рассматривался в отдельной теме.

Тут Alex-Yu вёл разговор о том, что бозонный гармонический осциллятор "ублюдочен", да его пространство Фока совсем куцое. Можно рассмотреть ещё и фермионный гармонический осциллятор, он совсем "ублюдочен", его гамильтониан

$$\hat{H_F}=\hbar\omega\left(\hat{f}^+\hat{f}-\frac{1}{2}\right).$$

И уровни энергии

$$E_{n_F}=\hbar\omega\left(n_F-\frac{1}{2}\right).$$

У такого осциллятора всего $2$ состояния $n_F=0,1.$

Если замутить суперсимметричный гармонический осциллятор, то легко видеть, что его энергия

$$E_{n_B,n_F=}\hbar\omega\left(n_B+n_F\right),$$

равна $0$ при отсутствии возбуждений, энергия нулевых колебаний сократилась. Над этим сокращением стоит помедитировать.

[Alex-Yu]

Nirowulf в сообщении #860359 писал(а):

что бозонный гармонический осциллятор "ублюдочен",

Давайте все же будем точнее. Не осциллятор ублюдочен, а его соответствие частицам ублюдочное. А так осциллятор себе и осциллятор...

Да, с фермионами более "хитрый" сюжет. Но ТС разобраться бы без этих дополнительных сложностей. Думаю, ему это только помешает.

[Nirowulf]

Alex-Yu в сообщении #860364 писал(а):

Да, с фермионами более "хитрый" сюжет. Но ТС разобраться бы без этих дополнительных сложностей. Думаю, ему это только помешает.

Это было заинтриговывающее забегание вперёд=) К тому же, не такое уж сложное, потому как ТС вроде имеет представление, что для фермионов имеют место антикоммутационные соотношения.

[Munin]

Alex-Yu в сообщении #860353 писал(а):

Мне тоже не ясно какой смысл использовать чисто классическое понятие волны в квантовой физике. Но не я же это затеял :-)

Понятие волны - это не понятие классической физики. Это понятие математической физики: волна - это решение волнового уравнения. Где бы такое уравнение ни встретилось, пусть даже в биологии, астрономии, лингвистике.

[SergeyGubanov]

manul91 в сообщении #857491 писал(а):

Хотелось бы разобраться в чем смысл "формальной суммы" $c_0\psi_0+c_1\psi_1(\mathbf{r}_1)+c_2\psi_2(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2)+\ldots$

Вас ввели в заблуждение. У такой "формальной суммы" смысла нет. Смысл есть немного у другой вещи:

$$ | \Psi(t) \rangle = \hat\Psi(t) | 0 \rangle $$

$$ \hat\Psi(t) = \sum\limits_{n=0}^{\infty} \hat\Psi_n(t) $$

$$ \hat\Psi_0 (t) = \psi_0 (t) \hat 1 $$

$$ \hat\Psi_1 (t) = \int \psi_1 (t, k) \, \hat a^{\dag}_k \, \sqrt{h(k)} d_3 k $$

$$ \hat\Psi_2 (t) = \int \int \psi_2 (t, k_1, k_2) \, \hat a^{\dag}_{k_1} \hat a^{\dag}_{k_2} \, \sqrt{h(k_1)} d_3 k_1 \sqrt{h(k_2)} d_3 k_2 $$

$$ \hat\Psi_{n} (t) = \int \ldots \int \psi_{n} (t, k_1, \ldots, k_n) \, \hat a^{\dag}_{k_1} \ldots \hat a^{\dag}_{k_n} \, \sqrt{h(k_1)} d_3 k_1 \ldots \sqrt{h(k_n)} d_3 k_n $$

Здесь:
$t$ - время;
$| \Psi(t) \rangle$ - вектор состояния;
$| 0 \rangle$ - вакуумный вектор;
$\hat\Psi(t)$ - функциональный ряд по степеням $\hat a^{\dag}_{k}$;
$\psi_{n} (t, k_1, \ldots, k_n)$ - комплексные функции (коэффициенты разложения);
$h_{i j} (k)$ - метрический тензор в $k$-пространстве (оно не плоское), $\sqrt{h(k)} d_3 k$ - мера интегрирования по $k$-пространству.

На $k$-пространстве живут операторы рождения $\hat a^{\dag}_k$ и уничтожения $\hat a_k$ образующие что-то вроде бесконечномерной алгебры Ли со следующими нетривиальными коммутаторами:

$$ \left[ \hat a_{k}, \, \int f(k') \, \hat a^{\dag}_{k'} \, \sqrt{h(k')} d_3 k' \right] = f(k) $$

$$ \left[ \int f(k') \, \hat a_{k'} \, \sqrt{h(k')} d_3 k', \, \hat a^{\dag}_{k} \right] = f(k) $$

Здесь $f(k)$ - произвольная непрерывная функция (пробная функция). Другими словами:

$$ [ \hat a_{k} , \hat \Psi ] = \frac{1}{\sqrt{h(k)}} \frac{\delta \hat\Psi}{\delta a^{\dag}_{k}} $$

$$ [ \hat \Psi^{\dag}, \hat a^{\dag}_{k} ] = \frac{1}{\sqrt{h(k)}} \frac{\delta \hat\Psi^{\dag}}{\delta a_{k}} $$

И вот на этом $k$-хозяйстве можно организовать нечто вроде бесконечномерной квантовой механики. Вводим уравнение Шредингера

$$ i \frac{d}{dt}| \Psi(t) \rangle = \hat H(t) \, | \Psi(t) \rangle $$

и какой-нибудь Гамильтониан, например, такой:

$$ \hat H = \int \omega_k \hat a^{\dag}_k \hat a_k \sqrt{h(k)} d_3 k $$

тогда

$$ \psi_n (t, k_1, \ldots, k_n) = e^{- i (\omega_1 + \ldots + \omega_n) t} \psi_n (k_1, \ldots, k_n) $$

Построенную бесконечномерную квантовую механику можно теперь попытаться расширить до квантовой теории поля. До сих пор теории поля не было!!!

Для этого произносим заклинание: существует $x$-пространство (евклидово), на котором живут (квантовые) поля.

Классическому вещественному скалярному полю $\phi(t, x)$ в квантовой теории может отвечать следующий самосопряжённый оператор:

$$ \hat \phi (x) = \int \left( \phi(x, k) \hat a_k + \phi^{*}(x, k) \hat a^{\dag}_k \right) \sqrt{h(k)} d_3 k $$

действующий на вектор состояния $| \Psi (t) \rangle$. Приглядываемся к следующим амплитудам:

$$ \langle 0 | \hat \phi (x) | \Psi(t) \rangle = \int e^{- i \omega_k t} \psi_1(k) \phi(x, k) \sqrt{h(k)} d_3 k $$

$$ \langle \Psi(t) | \hat \phi (x) | 0 \rangle = \int e^{+ i \omega_k t} \psi^{*}_1(k) \phi^{*}(x, k) \sqrt{h(k)} d_3 k $$

для того чтобы они удовлетворяли уравнению Клейна-Гордона с массой $m$ введённое ранее $k$-пространство должно оказаться псевдосферой радиуса $m$ (массовая поверхность). При этом $\omega_k = \sqrt{m^2 + {\bf k}^2}$ и в декартовых координатах коэффициенты $\phi(x, k)$ будут пропорциональны $\exp (i {\bf k x})$.

Обратите внимание, что если рассмотренную выше бесконечномерную квантовую механику не тянуть за уши в теорию квантовых полей живущих на евклидовом $x$-пространстве, то $k$-пространство может оставаться произвольным (не обязано быть трёхмерной псевдосферой радиуса $m$).