Ptolemaica

[Munin]

(Имеет основной переписку в ЛС.)

Всё на свете - гармонический осциллятор. А значит, движется равномерно по окружности.

Это такая банальность, что я даже не знаю, что тут добавить. Все поля раскладываются на осцилляторы. Потом к ним добавляются взаимодействия, которые всего лишь поворачивают собственные колебания осцилляторов, и перестраивают собственные частоты. Возможно, с нелинейными членами происходит что-то сложнее, но думаю, это можно обойти. И в любом случае, всё на свете есть всего лишь унитарная эволюция нормированного квантового состояния в гильбертовом пространстве, а это, как мы знаем, - вращение единичной сферы.

Клавдий Птолемей (1-2 в. н. э.)

Известен тем, что разработал математическое описание Космоса, известного на его эпоху (Систему Мира), то есть, верхний, мега-скопический уровень описания Мироздания вообще (сегодня аналогом является наука космология). Полторы тысячи лет его имя произносили с уважением, а полтысячи лет (незаслуженно) - с презрением, связывая с консерватизмом, реакционностью и глупостью. Картина мира Птолемея (в её построении участвовал далеко не он один, но она намертво связана с его именем) подразумевала законы мира как "кинематику", а потом очень быстро (за столетие) произошёл переход к "динамике". То есть, от законов в виде $(x,y)=(r\cos\omega t,r\sin\omega t)$ к законам в виде $(dx/dt,dy/dt)=(-y,x).$ Finale grandioso здесь сыграл Ньютон, сформулировав окончательно законы динамики, по которым и движутся "эти миры" по сей день.

Природа не знает производных.

Во времена Ньютона немудрено было удивиться сложности разных движений в природе, и попытаться хоть как-то обуздать её, перейдя к "динамике". Но потом оказалось, что за этой сложностью стоит скрытая простота. Оказалось, что всё на свете - гармонический осциллятор. А вот производные - противоестественная идея. В мире есть только отдельные значения величин в отдельные моменты времени, а сверх этого - мы знать не можем, по крайней мере, наши приборы и чувства нам ничего узнать не позволяют. Когда мы хотим взять производную, мы её можем посчитать только примерно. И фантазии Коши и Вейерштрасса, придумавших очень хорошие конструкции для вымышленного множества $\mathbb{R},$ нам не оправдание. Чтобы понять, что такое на самом деле Природа, может быть, стоит вернуться от "динамики" к "кинематике". Это мы для себя выдумали всякие уравнения движения, законы сохранения, и прочее. А для Природы мы - точка на хрустальной сфере, а Природа просто вертит эту сферу своми шестерёнками: дзынь-дзынь-дзынь - и больше ничего.

Есть ли здесь рациональное зерно? Вряд ли. Ну хотя бы действительное...

[SergeyGubanov]

Munin в сообщении #859784 писал(а):

И в любом случае, всё на свете есть всего лишь унитарная эволюция нормированного квантового состояния в гильбертовом пространстве, а это, как мы знаем, - вращение единичной сферы.

Это так только в простейшем случае, для "свободныех полей". А в общем случае "функциональное пространство" тоже имеет "кривизну" и нетривиальную "меру интегрирования".

[Munin]

SergeyGubanov в сообщении #860124 писал(а):

Это так только в простейшем случае

Нет, это так - всегда. По постулату унитарности эволюции. Не путать с предыдущими фразами.

[SergeyGubanov]

Munin в сообщении #860129 писал(а):

По постулату унитарности эволюции.

Эволюция во времени вектора состояния $| \Psi (t) \rangle$ это и есть частный случай из жизни квантовых полей.

Дело в следующем. Всевозможные конфигурации классического поля определяют "функциональное пространство" этого поля по которому берётся Фейнмановский интеграл. Если "функциональное пространство" так сказать "плоское" и мера интегрирования по нему тривиальная, то (обычно?) существует изоморфное описание этого квантового хозяйства с помощью операторов зависящих от точки (трёхмерного) пространства $x^i$, действующих в каком-то Гильбертовом пространстве, и с унитарной эволюцией в (глобальном) времени $t$ нормированного вектора состояния $| \Psi (t) \rangle$.

Однако, если верить, например, в ОТО, то буквы $t$ в общем случае просто нет, а выделение трёхмерного пространства лишь дело вкуса. Так же в общем случае "функциональное пространство" не является "плоским", и мера интегрирования по "функциональному пространству" не является тривиальной (пример - функциональное пространство метрик). В общем случае операторы зависящие от точки пространства и вектор состояния зависящий от времени просто исчезают. В общем случае нету никакого Гильбертова пространства с унитарно эволюционирующим в (глобальном) времени вектором состояния. А есть лишь Фейнмановский интеграл по "функциональному пространству" с нетривиальной "мерой интегрирования" возникающей из-за "кривизны" функционального пространства.

Сказанное, разумеется, имеет статус на уровне "махания руками у доски" и веры в первичность Фейнмановского интеграла.

Написал довольно сумбурно, есть к чему придраться, но попытайтесь понять общий смысл. Формулировки потом можно и отшлифовать.

[Munin]

Мне очень жаль, что в эту тему припёрлись вы, и не заглянул никто из тех, для кого я её писал.

[arseniiv]

(Оффтоп)

Для кого?

(А мне нечего сказать кроме «да» или «интересное наблюдение», более глубоко оценить пока никак.)

[longstreet]

Про осцилляторы понравилось! Было бы здорово расписать на пару страниц, для общества (не знаю как).

[paladin17]

Производные - вполне естественная идея, когда мы рассматриваем какую-то величину в определённой точке (простейший случай - точка на двумерном графике), то есть подключаем анализ, выделяем часть от целого (того же графика, например).
Отсюда и понятие силы: оно фактически показывает нам сумму взаимоотношений тела (а понятие отдельно взятого тела есть также следствие анализа, различения явлений, деления мира на области) с остальными телами, - отсюда же, кстати, естественным образом вытекает принцип Маха.
При таком подходе, правда, переход к кинематике не очень понятно, как (и зачем) осуществлять. Тут, во-первых, уже упомянутое противопоставление времени пространству (которое, конечно, теоретически можно обойти заданием какого-то иного независимого параметра), во-вторых неясность насчёт задания осей (относительно которых будет рассматриваться кинематика), поскольку оси тоже представляют собой "аналитические" образования, некие выделенные направления окружающей среды. И т.п.

[Munin]

paladin17 в сообщении #861494 писал(а):

Производные - вполне естественная идея

Да это понятно.

Вопрос, не является ли интересной другая идея: отказаться от производных?

paladin17 в сообщении #861494 писал(а):

во-вторых неясность насчёт задания осей (относительно которых будет рассматриваться кинематика)

Ну, это легко решается современными средствами (например, заменой простого $R^4$ на пространство-время Галилея). Тж. см. у Пенроуза и в Мизнере-Торне-Уилере о представлении пространства-времени классической механики как расслоения над временем со слоем-пространством.

longstreet в сообщении #860425 писал(а):

Про осцилляторы понравилось! Было бы здорово расписать на пару страниц, для общества (не знаю как).

Вот тут, кажется, я всё-таки перегнул палку. Но лень разбираться до конца.

[g______d]

Munin в сообщении #861520 писал(а):

longstreet в сообщении #860425 писал(а):

Про осцилляторы понравилось! Было бы здорово расписать на пару страниц, для общества (не знаю как).

Вот тут, кажется, я всё-таки перегнул палку. Но лень разбираться до конца.

Если поле уже разложено на осцилляторы, то в чём проблема его продифференцировать по времени? Каждый осциллятор просто на что-то умножится, и всё.

[Munin]

g______d в сообщении #861524 писал(а):

Если поле уже разложено на осцилляторы, то в чём проблема его продифференцировать по времени?

Проблемы никакой нет, просто зачем? Осциллятор можно представлять себе как "хрустальную небесную сферу", вращающуюся по предначертанному ему закону (по окружности), безо всяких производных. Идея была именно в этом.

-- 11.05.2014 02:31:02 --

Производные нужны, если физическая система вдруг обнаружит, что столкнулась с новыми условиями, и должна двигаться как-то иначе, чем раньше. Тогда возникает необходимость в законе вида

$$\text{новый курс}=f(\text{текущая обстановка}),$$

не важно, в каком именно математическом варианте (например, дифференциальное уравнение, конечно-разностное, или система с конечным запаздыванием).

[paladin17]

Мне всё же интересно, как при таком подходе можно описать какое-нибудь (хоть самое простое) нелинейное или диссипативное явление.
Я не утверждаю, что это вообще невозможно, но интуитивно кажется, что для этого придётся прибегать ко всяким дополнительным ухищрениям типа "коллапса волновой функции", или чего-то ещё.
Например: какая-нибудь система с обратной связью (т.е. по определению нелинейная), - скажем, ферромагнетик (где существует гистерезис). Разве тут можно обойтись одной унитарной эволюцией кучки осцилляторов?

[fizeg]

Мне понравилась только аналогия унитарной эволюции с хрустальной сферой

Munin в сообщении #859784 писал(а):

Всё на свете - гармонический осциллятор.

А вот это мне не нравится. Насчет банальностей

Munin в сообщении #859784 писал(а):

Все поля раскладываются на осцилляторы. Потом к ним добавляются взаимодействия, которые всего лишь поворачивают собственные колебания осцилляторов, и перестраивают собственные частоты.

Для начала мне не нравится "потом" - ставит с головы на ноги. Это все равно, что сказать "Вся физика классическая, а потом она квантуется". Это способ изучения квантовых полей, которому следуют вовсе не от хорошей жизни.

Я уже приводил "конечномодовую" аналогию для свободного и взаимодействующего полей. Свободное поле как многомерный гармонический осциллятор. Взаимодействующее поле - произвольный потенциал. На наше счастье он близок к потенциалу осциллятора, да и удается готовить и измерять состояния, близкие к состояниям осциллятора. Поэтому мы можем изучать этот сложный потенциал по теории возмущений. Но это уж точно не просто поворот собственных колебаний и собственных частот. Весь спектр становится совсем другим, особенно когда начинают играть большую роль отклонения (адроны это совсем не кварки и глюоны и наоборот)

Ну и здесь собственно и проблема с желаемым вами переходом от "динамики" к "кинематике". Если вы построите теорию всего и она чудесным образом окажется точно решаемой, вы сможете выбросить все эти костыли к черту. Если бы в нашем мире только невзаимодействующие частицы летали, это было бы действительно тривиально, вот только вряд ли бы кто-то смог в таком мире теории строить.

[Munin]

paladin17 в сообщении #861584 писал(а):

Мне всё же интересно, как при таком подходе можно описать какое-нибудь (хоть самое простое) нелинейное или диссипативное явление.

Вот этого я пока сам не знаю. Но верю в унитарность.

Представим себе, например, такое диссипативное явление, как излучение света. Был возбуждённый атом водорода, а получился фотон. Так вот, если внимательно посмотреть на степени свободы электромагнитного поля, то они просто возбудились, когда электрон упал. Произошла не диссипация, а переход энергии в другие колебательные моды. Причём, то, что мы называем электроном, и то, что мы называем фотонами, не есть собственные моды колебательной системы "электрон плюс электромагнитное поле". Из-за члена взаимодействия, собственные моды поворачиваются. Но остаются собственными. Так что, всё что нам нужно - просто знать заранее эти собственные моды, разложить начальное состояние по ним, и эволюционировать их спокойно независимо.

paladin17 в сообщении #861584 писал(а):

Я не утверждаю, что это вообще невозможно, но интуитивно кажется, что для этого придётся прибегать ко всяким дополнительным ухищрениям типа "коллапса волновой функции", или чего-то ещё.

В принципе, есть идея (называется "декогеренция"), что на самом деле коллапс - это такая унитарная эволюция, когда всё уходит в кучу степеней свободы теплового резервуара.

paladin17 в сообщении #861584 писал(а):

Например: какая-нибудь система с обратной связью (т.е. по определению нелинейная), - скажем, ферромагнетик (где существует гистерезис). Разве тут можно обойтись одной унитарной эволюцией кучки осцилляторов?

Ну, всё, что нелинейно в "обычном" смысле, является линейным в смысле квантовой механики: мы имеем гамильтониан, который по определению линейный оператор (эрмитов) на пространстве векторов состояния, и эволюция - $e^{iHt}$ - тоже линейный оператор (унитарный).

fizeg в сообщении #861600 писал(а):

Для начала мне не нравится "потом" - ставит с головы на ноги. Это все равно, что сказать "Вся физика классическая, а потом она квантуется". Это способ изучения квантовых полей, которому следуют вовсе не от хорошей жизни.

Ну, мне это тоже не нравится. Но "имея две плохих идеи, можно их как-то допиливать до одной хорошей"... как-то так.

fizeg в сообщении #861600 писал(а):

Я уже приводил "конечномодовую" аналогию для свободного и взаимодействующего полей. Свободное поле как многомерный гармонический осциллятор. Взаимодействующее поле - произвольный потенциал. На наше счастье он близок к потенциалу осциллятора

Вот не всё так произвольно. Есть требования перенормируемости, которые приводят к тому, что члены взаимодействия - степенные очень невысокой степени, и их по сути вообще все можно перечислить (кажется, в Вайнберге 1 томе это напрямую и сделано).

Конечно, при этом получаются не только члены $m^2u^2$ и $gu_1u_2,$ но ещё и немножко третьей степени и четвёртой, но всё-таки число случаев обозримо.

fizeg в сообщении #861600 писал(а):

Но это уж точно не просто поворот собственных колебаний и собственных частот.

Может, это что-то лишь немногим более сложное. Мне не хватает владения группами и алгебрами Ли. Но выглядит как просто переход от абелевой алгебры к неабелевой.

fizeg в сообщении #861600 писал(а):

Весь спектр становится совсем другим, особенно когда начинают играть большую роль отклонения (адроны это совсем не кварки и глюоны и наоборот)

Думаю, тут придётся воспринимать слово "спектр" не так буквально. Ну и потом, я же не обещал сразу за раз придумать КТП с сильной связью, это вы много от меня хотите :-)

fizeg в сообщении #861600 писал(а):

Если вы построите теорию всего и она чудесным образом окажется точно решаемой, вы сможете выбросить все эти костыли к черту.

Я как раз не знаю, а ведёт ли использование этих костылей к желаемой цели. Или может, они наоборот мешаются? Ну, такая мысль пришла. Можно её покатать на языке, а потом выплюнуть.

[warlock66613]

Munin в сообщении #861612 писал(а):

Вот этого я пока сам не знаю. Но верю в унитарность.

Я тоже почти ничего не имею против унитарности, но факт в том, что для адекватного описания многих систем приходится сознательно отказываться от унитарности. Я имею в виду системы, которые, будучи совсем чуть-чуть незамкнутыми, начинают "скакать" с одной траектории на другую, и в результате мы имеем поведение, весьма далёкое от унитарной эволюции. Но из сказанного не следует автоматической неприменимости высказанной идеи к таким системам; надо сначала обкатать её на более подходящем материале, а там видно будет.

Производная мне не нравится неоднозначностью. Вот график функции.

Как найти от неё производную? Это невозможно без привлечения некоторых дополнительных соображений (до какой степени сглаживать). Производная вообще плохо определена для функций дискретного аргумента. А вот сделать преобразование Фурье ("разложить на вращение шаров") всегда можно без всяких скидок и уступок.