Добрый день, дорогие коллеги. Тут возникла такая задачка. Найти спектр оператора в
![$C[0, 1]$ $C[0, 1]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/7/4/674ec25909e7a93e612ef8b3959bfece82.png)
:

Преподаватель сказал, что задача простая, но у меня как-то иссякли мысли. Приведу свои рассуждения.
Вроде как оператор компатный (ибо интегральный, хотя интегрирование ведется не до

, а до

, но, имхо, это погоды не делает), так что спектр можно искать в виде собственных значений оператора. Велика вероятность, что в спектре лежит только

, но это как раз и не получается доказать.
Сначала были идеи продифференцировать, но, во-первых, мы живем в
![$C[0, 1]$ $C[0, 1]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/7/4/674ec25909e7a93e612ef8b3959bfece82.png)
, так что не для всех функций производная определена, а, во-вторых, лично у меня это не привело ни к какому хорошему результату.
Еще была идея найти спектральный радиус, и тут меня вроде бы ждал успех, но строго, опять же, обосновать не могу. "Самая лучшая" функция для интегрирования, у которой норма 1 в
![$C[0, 1]$ $C[0, 1]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/7/4/674ec25909e7a93e612ef8b3959bfece82.png)
- тождественная единичка. Интегрируем ее от 0 до

получаем

. Далее интегрируем

получаем

, далее

, не сложно заметить, что корень n-й степени из нормы таких функций стремится к 0. Но что-то мне все равно не нравится в моих рассуждениях...