Найти спектр оператора

Foxer · 14/12/13 119

Добрый день, дорогие коллеги. Тут возникла такая задачка. Найти спектр оператора в $C[0, 1]$ :
$A(t) = \int_0^{t^2}x(t)dt$
Преподаватель сказал, что задача простая, но у меня как-то иссякли мысли. Приведу свои рассуждения.

Вроде как оператор компатный (ибо интегральный, хотя интегрирование ведется не до $t$ , а до $t^2$ , но, имхо, это погоды не делает), так что спектр можно искать в виде собственных значений оператора. Велика вероятность, что в спектре лежит только $0$ , но это как раз и не получается доказать.
Сначала были идеи продифференцировать, но, во-первых, мы живем в $C[0, 1]$ , так что не для всех функций производная определена, а, во-вторых, лично у меня это не привело ни к какому хорошему результату.
Еще была идея найти спектральный радиус, и тут меня вроде бы ждал успех, но строго, опять же, обосновать не могу. "Самая лучшая" функция для интегрирования, у которой норма 1 в $C[0, 1]$ - тождественная единичка. Интегрируем ее от 0 до $t^2$ получаем $t^2$ . Далее интегрируем $t^2$ получаем $\frac{t^6}{3}$ , далее $\frac{t^{14}}{21}$ , не сложно заметить, что корень n-й степени из нормы таких функций стремится к 0. Но что-то мне все равно не нравится в моих рассуждениях...