Найти спектр оператора

[Foxer]

Добрый день, дорогие коллеги. Тут возникла такая задачка. Найти спектр оператора в $C[0, 1]$:
$A(t) = \int_0^{t^2}x(t)dt$
Преподаватель сказал, что задача простая, но у меня как-то иссякли мысли. Приведу свои рассуждения.

Вроде как оператор компатный (ибо интегральный, хотя интегрирование ведется не до $t$, а до $t^2$, но, имхо, это погоды не делает), так что спектр можно искать в виде собственных значений оператора. Велика вероятность, что в спектре лежит только $0$, но это как раз и не получается доказать.
Сначала были идеи продифференцировать, но, во-первых, мы живем в $C[0, 1]$, так что не для всех функций производная определена, а, во-вторых, лично у меня это не привело ни к какому хорошему результату.
Еще была идея найти спектральный радиус, и тут меня вроде бы ждал успех, но строго, опять же, обосновать не могу. "Самая лучшая" функция для интегрирования, у которой норма 1 в $C[0, 1]$ - тождественная единичка. Интегрируем ее от 0 до $t^2$ получаем $t^2$. Далее интегрируем $t^2$ получаем $\frac{t^6}{3}$, далее $\frac{t^{14}}{21}$, не сложно заметить, что корень n-й степени из нормы таких функций стремится к 0. Но что-то мне все равно не нравится в моих рассуждениях...

[g______d]

Со спектральным радиусом так и надо, только слова "самая лучшая" заменить на оценку через максимум.

[ewert]

Foxer в сообщении #858527 писал(а):

Еще была идея найти спектральный радиус,

Правильная идея.

Foxer в сообщении #858527 писал(а):

Но что-то мне все равно не нравится в моих рассуждениях...

Вы просто чуть-чуть не в ту сторону рассуждаете. Вам не на единичке "проверять" надо, а просто оценить $\|A^nx\|$ через $\|x\|$.

[Foxer]

Спасибо большое!