Длина дуги по Гюйгенсу

[Алексей К.]

Я, кажись, понял, чего Вы хотите; в таком виде оно у меня по-простому---по-красивому не получалось, а по-тупому ещё попробую.

[gris]

Алексей К., в соседней теме у ТС тоже интересный вопрос про окружности. Было бы интересно услышать Ваше мнение.

[Алексей К.]

(Оффтоп)

gris,

мерси, но сначала типа надо долги отдать, потом проведать высаженный вчера на воле банан: был довольно сильный ветер, говорят, один лист обломался.

На том рисунке дорисую сейчас некое p_new:

$$p_{new}=2l\left(1+\frac13 s+\frac2{15}s^2\right),\text{~~~где~~~}s=\frac{2l-L}{2l}=1-\cos\frac{\xi}2.$$

[Алексей К.]

У Вас, Keter, арккосинус где-то уже звучал, наверное, этот самый. Типа

$$\aligned &\xi=2\arccos(1-s),\\ &\frac{p}{2l}=\frac{\xi}{2\sin\frac{\xi}2}=\frac{\arccos(1-s)}{\sqrt{s(2-s)}}=1+\frac13s+\frac2{15}s^2+\frac2{35}s^3+\frac8{315}s^4+\ldots\endaligned$$

(добавил на ту же картинку в виде p_last).

Уууффф?

[ewert]

Не могу заставить себя прочитать все 4 страницы и, наверное, поэтому чего-то не понимаю. Собственно, половина формулы Гюйгенса (т.е. для половинки дуги) -- это $2R\sin\frac{\alpha}2\left(\frac43-\frac13\cos\frac{\alpha}2\right).$ И надо доказать, что это примерно $R\alpha$ и прикинуть, насколько примерно. Ну так тупо и в лоб

$$2\sin\frac{\alpha}2\left(\frac43-\frac13\cos\frac{\alpha}2\right)=\frac83\sin\frac{\alpha}2-\frac13\sin\alpha=$$

$$=\frac83\left(\frac{\alpha}2-\frac16\cdot\frac{\alpha^3}8+\frac1{120}\cdot\frac{\alpha^5}{32}\right)-\frac13\left(\alpha-\frac{\alpha^3}6+\frac{\alpha^5}{120}\right)+O(\alpha^7)=\alpha-\frac{\alpha^5}{480}+O(\alpha^7),$$

причём хвостик наверняка (вроде бы) можно спокойно откинуть по Лейбницу, если это не более чем половина окружности, т.е. если $\alpha\leqslant\frac{\pi}2.$

[Алексей К.]

ewert,

ТС, как я, наконец, понял, хотел получить дальнейшие приближения не в терминах угла, а в терминах тех же переменных $(l,L)$, и это у него никак не получалось. Я эти $(l,L)$ перевёл в $(l,s)$ с малым безразмерным $s$.
Меня же здесь напрягло личное, --- то, что я сильно потерял сноровку, и всё время путался, и не смог это проделать хотя бы за полчасика...

Ну да, погрешности он тоже хотел пооценивать.

[ewert]

Алексей К. в сообщении #858175 писал(а):

, а в терминах тех же переменных $(l,L)$,

Хм. Ну пусть возведёт формулу Гюйгенса в пятую степень и разделит на 480, раз уж так хочется. А вообще это желание трудно счесть разумным: любую задачу следует решать так, как её следует решать.

[Алексей К.]

Я довольно быстро опечалился тем, что математики тему стороной обходят, но мою печаль неправильно поняли.

[Keter]

Алексей К., ewert, изначально меня интересовала такая тема:

(i) Вывести формулу Гюйгенса для приближенного вычисления длины дуги окружности. $p\approx 2l+\frac{2l-L}{3},$ где $L$ -- хорда, на которую опирается дуга, а $l$ -- хорда, на которую опирается половина дуги.
(ii) Получить следующий член разложения в терминах $l$ и $L.$

Что касается (i):

(Оффтоп)

Пусть $2\xi$ -- угол, соответствующий данной дуге, а $r$ -- радиус данной окружности.

(i) Из системы $\begin{cases} p=2r\xi,\\ l=2r\sin \frac{\xi}{2},\\ L=2r\sin \xi \end{cases}$ получаем $\begin{cases} \dfrac{l}{p}=\dfrac{\sin \frac{\xi}{2}}{\xi},\\ \dfrac{L}{p}=\dfrac{\sin \xi}{\xi}. \end{cases}$

При данном построении $\xi \in [0, \pi/2].$ Тогда $\sin \xi$ разлагаем до 7-ой степени, а $\sin \frac{\xi}{2}$ -- до 5-ой.

Тогда имеем: $\begin{cases} \dfrac{l}{p} \approx \dfrac{1}{2}-\dfrac{\xi^3}{8\cdot 3!}+\dfrac{\xi^4}{32\cdot 5!},\\ \dfrac{L}{p} \approx 1-\dfrac{\xi}{3!}+\dfrac{\xi^4}{5!}-\dfrac{\xi^6}{7!}. \end{cases}$ Откуда, $p \approx \dfrac{8l-L}{3}+2r\bigg( \dfrac{\xi^5}{4\cdot 5!}-\dfrac{\xi^7}{3\cdot 7!} \bigg).$

$p \approx \frac{8l-L}{3}=2l+\frac{2l-L}{3}$ -- формула Гюйгенса.

Теперь (ii). Тут всё получилось тем способом, что раньше и написал.

(Оффтоп)

Итак, $\xi=2\arccos \dfrac{L}{2l}, 2r=\dfrac{L}{\sin \xi}.$ Тогда получим:

$$\xi\approx \pi-\bigg( \dfrac{L}{l}+\dfrac{L^3}{24l^3}+\dfrac{3l^5}{640l^5} \bigg),$$

$$2r\approx L \bigg( \xi-\dfrac{\xi^3}{3!}+\dfrac{\xi^5}{5!}-\dfrac{\xi^7}{7!} \bigg)^{-1}.$$

Далее, если взять по одному члену в каждом разложении, и подставить в $2r\dfrac{\xi^5}{4\cdot 5!},$ то получим $\dfrac{L(\pi l-L)^4}{480l^4}.$ А если подставить в $2r\bigg( \dfrac{\xi^5}{4\cdot 5!}-\dfrac{\xi^7}{3\cdot 7!} \bigg),$ то получим $\dfrac{L(\pi l-L)^4 \Big( 63l^2-2(\pi l-L)^2 \Big)}{126 \cdot 240 \cdot l^6}.$

Теперь можно записать, например, $p \approx 2l+\frac{2l-L}{3}+\dfrac{L(\pi l-L)^4}{480l^4}.$

Сейчас очень интересует такая задача:

Без использования разложения функции в ряд:
(i) обосновать формулу Гюйгенса $p \approx 2l+\frac{2l-L}{3};$
(ii) оценить погрешность этой формулы.

Пока не могу неравенствами показать, что формула верна. Всё как-то расплывчато.

[ewert]

Keter в сообщении #858424 писал(а):

Без использования разложения функции в ряд:
(i) обосновать формулу Гюйгенса $p \approx 2l+\frac{2l-L}{3};$
(ii) оценить погрешность этой формулы.

Оценить погрешность -- в принципе, можно (наверное). Но вот обосновать -- вряд ли.

Keter в сообщении #858424 писал(а):

Теперь можно записать, например, $p \approx 2l+\frac{2l-L}{3}+\dfrac{L(\pi l-L)^4}{480l^4}.$

Записать-то можно. Только зачем, если это заведомо неверно?... Ведь из $L_{\text{гюйг}}\approx R\left(\xi-\frac{\xi^5}{480}\right)$ очевидным образом следует $R\xi\approx L_{\text{гюйг}}+\frac{L_{\text{гюйг}}^5}{480R^4}.$

[Keter]

Алексей К. в сообщении #858165 писал(а):

Типа

$$\aligned &\xi=2\arccos(1-s),\\ &\frac{p}{2l}=\frac{\xi}{2\sin\frac{\xi}2}=\frac{\arccos(1-s)}{\sqrt{s(2-s)}}=1+\frac13s+\frac2{15}s^2+\frac2{35}s^3+\frac8{315}s^4+\ldots\endaligned$$

Это самый лучший вариант для (ii), как мне кажется, это и есть то, что хотелось получить.

ewert в сообщении #858489 писал(а):

Оценить погрешность -- в принципе, можно (наверное). Но вот обосновать -- вряд ли.

Да, обосновать пока что вообще не получается. А что, если рассмотреть придел $\dfrac{2l+(2l-L)/3}{2r\xi}...$ Пока что не думал как оценивать погрешность. Но оценивать нужно относительно угла $\xi.$

[ewert]

Ну она и лежит в пределах от нуля до $-\frac{\xi^4}{480}$. И чем меньше угол, тем ближе к этой дроби.

Но это -- если знать тейлоровское разложение. Если же нет, то можно в лучшем случае вывести это предельное соотношение для погрешности, но не доказать его существование.