Вопросы по принципам классической механики

[Munin]

aei в сообщении #856006 писал(а):

Такая немного понятнее. Таких векторов всегда бесконечно много?

Ну как минимум, если есть хотя бы один, то есть и любое действительное число умножить на него же.

А вот сколько таких линейно независимых векторов - это обычно конечное число. Размерность пространства $\vec{r}_i$ минус размерность всех условий связи (в данной точке).

(Бесконечномерные пространства бывают в приложении аппарата теоретической механики к немеханическим физическим теориям - например, к теории поля. Это основное применение теормеханики в современной физике. Кстати, механика сплошной среды тоже бесконечномерна.)

[aei]

Munin в сообщении #856003 писал(а):

Вектор $\delta\vec{r}_i$ - это произвольный вектор в плоскости, касательной к поверхности, в которой лежит движение точки $\vec{r}_i.$

Это разве не просто радиус-вектор из начала координат до положения частицы? Не понял ваших слов.

[Oleg Zubelevich]

aei в сообщении #856006 писал(а):

Почему нельзя рассмотреть двумерный?

можно, и одномерный можно, я думал Вас на многомерные твердые тела поянуло

aei в сообщении #856006 писал(а):

Таких векторов всегда бесконечно много?

да, линейное пространство

aei в сообщении #856006 писал(а):

А как значок $\delta$ в этом случае называется? "Дельта", "вариация",

у нас все называют "дельта"

Munin в сообщении #856003 писал(а):

Вектор $\delta\vec{r}_i$ - это произвольный вектор в плоскости, касательной к поверхности, в которой лежит движение точки $\vec{r}_i.$

что-то я не понял, мало ли сколько разных поверхностей с разными касательными плоскостями содержат траекторию $i-$ точки

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #856010 писал(а):

что-то я не понял, мало ли сколько разных поверхностей с разными касательными плоскостями содержат траекторию $i-$ точки

Окей, это было про голономные связи. Про неголономные микрофон вам в руки.

-- 27.04.2014 22:49:04 --

aei в сообщении #856008 писал(а):

Это разве не просто радиус-вектор из начала координат до положения частицы? Не понял ваших слов.

Не из начала координат, а из текущего положения частицы - к её возможному (виртуальному) положению.

[aei]

Munin в сообщении #856014 писал(а):

Не из начала координат, а из текущего положения частицы - к её возможному (виртуальному) положению.

Точно!

-- 28.04.2014, 00:53 --

Вырисовывается такой кусок картины: есть принцип возможных перемещений (охватывает статику) и есть принцип Даламбера (сводит динамику к статике). Их объединением является общее уравнение динамики. А принцип наименьшего принуждения Гаусса и принцип наименьшей кривизны Герца - лишь различные переформулировки общего уравнения динамики. Верно?

[Oleg Zubelevich]

(Оффтоп)

Так. Пусть у нас есть система материальных точек c радиус-векторами $\overline r_1,\ldots,\overline r_N$. Положение этой системы описывается точкой $R=(\overline r_1,\ldots,\overline r_N)$ в пространстве $\mathbb{R}^{3N}$.

Теперь предположим, что положение точки $R$ определяется однозначно параметрами $x=(x^1,\ldots, x^m),\quad m\le 3N$ т.е. $R=R(x^1,\ldots, x^m),\quad rang\,\frac{\partial R}{\partial x}=m$
Мы получили многообразие $M\subset\mathbb{R}^{3N}$ размерности $m$ с локальными координатами $x$. Это многообразие называется конфигурационным пространством.

Однако, может оказаться, что на систему наложены дополнительные связи $a_{ij}(x)\dot x^j=0,\quad i=1,\ldots n<m,\quad rang\, a_{ij}=n$
Эти связи задают распределение на $M$: $\Sigma_x=\{\xi\in T_xM\mid a_{ij}(x)\xi^j=0,\quad i=1,\ldots, n\}.$
Интегрируемость (голономность) связей означает, что $M$ расслоено на многообразия $\{N\}$ размерности $m-n$ для которых $\Sigma_x=T_xN$.
В этом случае в качестве конфигурационного пространства естественно взять $N$. В противном случае говорят, что связи неинтегрируемы -- система неголономна.

[Oleg Zubelevich]

aei в сообщении #856017 писал(а):

принцип Даламбера (сводит динамику к статике)

так говорят в старых учебниках, но эти слова ничего не значат. Статика это системы линейных алгебраических уравнений, динамика это системы дифференциальных уравнений. Свести второе к первому невозможно.

[aei]

Oleg Zubelevich в сообщении #856078 писал(а):

слова ничего не значат

Тогда не "ничего не значат", а неверны(

[Munin]

Это идёт из старой механической идеологии (возникшей задолго до Ньютона), что точка движется по заданной траектории, как по рельсам. Именно Ньютон (точнее, вместе с Галилеем и Кеплером) построил динамику, в которой предзаданной траектории нет, а она вычисляется как решение дифура. Но корни прежнего мышления никуда не делись. Тем более что во многих машинах и механизмах так и делают: ограничивают движение деталей (накладывают связи) настолько, чтобы оно было возможно только одномерное.

[aei]

Для принципа наименьшего действия в форме Якоби дается формула $\Delta \int\sqrt{H-V(q)}d\rho=0$. Здесь интегрирование по чему идет? И что за $\rho$? И $\Delta$ пишут, что полная вариация, т. е. изменяем и время - это вообще как (время же задается начальными условиями)?

[Ms-dos4]

Вообще $\[d\rho = \sqrt {2K} dt\]$ ($\[K\]$ - кинетическая энергия), но весь смысл в том, что это можно интерпретировать как длину элемента дуги (траектории) в конфигурационном пространстве.
P.S.Почитайте Голдстейна, если не ошибаюсь, в нём это подробно написано.

[aei]

Спасибо, нашел этот момент у Голдстейна.

Там есть и параграф про преимущество вариационной формулировки принципов (я об этом спрашивал выше), но непонятно написано. Вопрос остался.

[Ms-dos4]

Так что в нём непонятного? И в чём вопрос? (я тему бегло прочитал, но мне кажется вам уже на всё ответили).

[aei]

aei в сообщении #855902 писал(а):

В указанной выше книге автор в пункте 59 пишет:

Цитата:

Вариационные принципы Даламбера-Лагранжа и Журдена не связаны с понятием экстремальности. Гаусс предложил замечательную модификацию принципа Даламбера-Лагранжа, которая вводит в этот принцип понятие минимальности некоторого выражения. Эта модификация принципа Даламбера-Лагранжа получила название принципа Гаусса, или принципа наименьшего принуждения.

В чем заключается описываемая "замечательность"? Я бы предположил, что экстремальная трактовка задачи позволяет решать ее вариационными методами, которые хорошо разработаны.

[Oleg Zubelevich]

Да я так думаю, что в отличие от вариационных принципов гамильтоновой\лагранжевой механики (настоящих вариационных принципов), ничего по особенно замечательного в принципе Гаусса нет.