Вопросы по принципам классической механики

[aei]

Готовлюсь на неделе послушать лекции по нескольким предметам для физиков в институте. Поэтому вопросы.

Какое точное значение в классической механике вкладывается в слово "принципы"?

Верно ли, что принцип наименьшего действия (точнее, принцип экстремального действия) ниоткуда не выводится, а постулируется?

Верно ли, что с позиций квантовой механики даже обычная механическая частица "обнюхивает" все пути и "выбирает"? Не могу представить. Камень тоже так летает?

Есть ли "общая картинка" различных формулировок классической механики? Вот говорят, что принцип наименьшего принуждения Гаусса - это переформулировка принципа наименьшего действия (то есть что только один принцип механики в природе, но "смотреть" на него можно по-разному)? И что он же (принцип наименьшего принуждения Гаусса) эквивалентен принципу Д'Аламбера или так же принципу Гамильтона. А вот принцип наименьшей кривизны Герца - это частный случай принципа наименьшего принуждения Гаусса. Какова "общая картина" принципов?

[Oleg Zubelevich]

aei в сообщении #855824 писал(а):

Верно ли, что принцип наименьшего действия (точнее, принцип экстремального действия) ниоткуда не выводится, а постулируется?

неверно, выводится из второго закона Ньютона + голономность

aei в сообщении #855824 писал(а):

принцип наименьшего принуждения Гаусса) эквивалентен принципу Д'Аламбера

это верно

aei в сообщении #855824 писал(а):

или так же принципу Гамильтона.

а это неверно

-- Вс апр 27, 2014 17:12:48 --

aei в сообщении #855824 писал(а):

Вот говорят, что принцип наименьшего принуждения Гаусса - это переформулировка принципа наименьшего действия

и это неверно

[aei]

Спасибо за оперативный ответ!

А это

aei в сообщении #855824 писал(а):

А вот принцип наименьшей кривизны Герца - это частный случай принципа наименьшего принуждения Гаусса.

верно?

Где дана общая "картинка" принципов? Есть еще Мопертюи и другие...

[Oleg Zubelevich]

Маркеев Теоретическая механика

[aei]

Oleg Zubelevich в сообщении #855831 писал(а):

aei в сообщении #855824 писал(а):

Верно ли, что принцип наименьшего действия (точнее, принцип экстремального действия) ниоткуда не выводится, а постулируется?

неверно, выводится из второго закона Ньютона + голономность

Я читал наоборот, как из принципа наименьшего действия выводится второй закон Ньютона (для движения частиц). И первая пара уравнений Максвелла (для конфигурации электро-магнитного поля).

[Munin]

aei в сообщении #855824 писал(а):

Какое точное значение в классической механике вкладывается в слово "принципы"?

Точного - никакого.

Примерно так: математическую часть физической теории можно описать как математическую аксиоматическую теорию. Часть аксиом там будет банальна (с физической точки зрения), например, "мы находимся в 3-мерном действительном пространстве и 1-мерном действительном времени". Но одна-две-несколько аксиом будут нетривиальными, ключевыми, для построения всей теории. Например, 2 закон Ньютона $\vec{F}=m\vec{r}_{tt}^{\,\prime\prime}.$

Так вот. Как и всякую аксиоматическую теорию, её можно описать по-разному, взяв разные наборы аксиом. Некоторые такие наборы аксиом будут эквивалентны, и аксиомы одной системы будут выводимыми теоремами в другой системе. Иногда (поскольку мы работаем в физике, и нам можно) бывают неэквивалентные наборы аксиом, порождающие разные теории, но примерно одинаково применимые в физике, и сопоставимые между собой. Различия приходятся на "экзотические" и "физически неинтересные" места.

Всё это я к тому, что вот некоторые (не все!) такие "ключевые аксиомы" для разных аксиоматических построений физической теории называются "принципами".

aei в сообщении #855824 писал(а):

Верно ли, что принцип наименьшего действия (точнее, принцип экстремального действия) ниоткуда не выводится, а постулируется?

В некоторых построениях постулируется, в некоторых выводится. Один из примеров вывода привёл Oleg Zubelevich (в теории, в которой 2 закон Ньютона постулируется). Другой вывод, физически более глубокий, это вывод из квантовой механики.

aei в сообщении #855824 писал(а):

Верно ли, что с позиций квантовой механики даже обычная механическая частица "обнюхивает" все пути и "выбирает"? Не могу представить. Камень тоже так летает?

Да, верно, и камень тоже. Это трудно представить поначалу, но чем больше с этим работаешь, тем легче представить. Вам понадобится сначала изучить саму квантовую механику, и поработать с ней несколько лет.

aei в сообщении #855824 писал(а):

Какова "общая картина" принципов?

Это, скорее, винегрет наслоений, а не общая картина. Можно сосредоточиться на одном изложении, и тогда с его перспективы взирать на другие. Это даст "общую картину". Но если взять другую точку зрения для отсчёта, получится другая "общая картина". Не возитесь с этим слишком сильно, тут важнее практика, чем философия.

[aei]

Не правильнее ли в таком случае говорить не о разных формулировках одного и того же принципа, а о разных формулировках механики (в рамках которых уже и принципы другие)?

[Oleg Zubelevich]

Классическая механика (систем материальных точек и твердых тел с идеальными связями) делится на два раздела. Голономная механика и неголономная механика. Неголономная механика не описывается принципом наименьшего действия.Это принципиальное отличие. Неголономные системы, даже в которых сохраняется энергия , не явлются, вообще говоря гамильтоновыми. В них даже инвариантной меры сколько-нибудь приличной может не быть.

[aei]

Oleg Zubelevich в сообщении #855857 писал(а):

Неголономная механика не описывается принципом наименьшего действия.

То есть принципы неголономной механики - это не вариационные принципы (с математической точки зрения)?

[Oleg Zubelevich]

Смотря что называть вариационным принципом, принцип Гаусса работает и в неголономном случае.

[aei]

Oleg Zubelevich в сообщении #855865 писал(а):

Смотря что называть вариационным принципом

Я думал, это стандартный термин в математике. Понимаю его как класс задач на экстремальность, но не где нужно найти значение переменной, при которой функция экстремальна, а саму функцию при которой переменная минимальна.

В указанной выше книге автор в пункте 59 пишет:

Цитата:

Вариационные принципы Даламбера-Лагранжа и Журдена не связаны с понятием экстремальности. Гаусс предложил замечательную модификацию принципа Даламбера-Лагранжа, которая вводит в этот принцип понятие минимальности некоторого выражения. Эта модификация принципа Даламбера-Лагранжа получила название принципа Гаусса, или принципа наименьшего принуждения.

В чем заключается описываемая "замечательность"? Я бы предположил, что экстремальная трактовка задачи позволяет решать ее вариационными методами, которые хорошо разработаны.

Второй закон Ньютона и принцип Даламбера - это невариационные принципы. Может, их сложнее решать? Почему?

[Oleg Zubelevich]

aei в сообщении #855902 писал(а):

Это стандартный термин.

какой вы умный

[aei]

Oleg Zubelevich, вы наверное правы. Нашел у того же автора:

Цитата:

вариационным принцип называется потому, что в выражающее его уравнение входят вариации - виртуальные перемещения.

А виртуальные перемещения есть и в неголономных системах.

-- 27.04.2014, 21:51 --

Oleg Zubelevich в сообщении #855904 писал(а):

какой вы умный

Я просто конкретно видел его в неплохих вроде справочниках.

[Munin]

aei в сообщении #855853 писал(а):

Не правильнее ли в таком случае говорить не о разных формулировках одного и того же принципа, а о разных формулировках механики (в рамках которых уже и принципы другие)?

Часто так и говорят. Но терминология здесь консервативна, частично уходит корнями аж в 18 век, когда теории аксиоматических теорий ещё не было развито.

-- 27.04.2014 19:59:31 --

Oleg Zubelevich в сообщении #855857 писал(а):

Классическая механика (систем материальных точек и твердых тел с идеальными связями) делится на два раздела. Голономная механика и неголономная механика.

Ну, это с вашей точки зрения.

С точки зрения физики, удобней её делить на лагранжеву механику, гамильтонову механику, и всё остальное.

[aei]

Хороший учебник. Нашел и уточнение термину "принципы" (пункт 56):

Цитата:

Принципами называют, во-первых, некоторые основные начала, на которых может быть построена какая-либо теория, научная систем и т. п., а во-вторых - законы, основные положения о чем-либо. Под принципами часто понимают также точку зрения, убеждения и т. д.

Хотя Munin уже ответил.