любое число можно представить суммой двух взаимно простых

[enko]

Доброго времени суток.

Вот такая задача:

Доказать, что каждое натуральное число $N, N>6$ может быть представленно
ввиде суммы двух взаимно простых чисел.

Я пока доказал только это:
Выберем число $a$ ; $ (1<a<N-1)$ такое что $(a,N)=1$
тогда: $1=au+Nv = a(u+v)+(N-a)v => (a,N-a)=1$
и очевидно $a+(N-a)=N$

Осталось доказать, что можно выбрать число $a$ ; $ (1<a<N-1)$ такоое что $НОД(a,N)=1$

Вот мой вариант док-ва в котором я сомневаюсь:

Пусть $N$ не является взаимно простым ни с одним из меньших чисел, и пусть $p_1...p_k$ - все простые числа меньше$N$, тогда $N=p_1^{a_1}...p_k^{a_k}; a_j>0 $

число $Q=p_1...p_k-1$ будет взаимно простым с каждым $p_j$ и меньшим $N$, а значит взаимно простым с $N$, но это противоречие, так как с другой стороны $Q$ должен делить $N$.

Рассудите, пожалуйста.

[Brukvalub]

А что произойдет в последнем фрагменте Вашего доказательства, если само N - простое?

[нг]

А это не очевидно? Берём $a = 1$, …

[enko]

Brukvalub

Цитата:

А что произойдет в последнем фрагменте Вашего доказательства, если само $N$ - простое?

Не замечаю противоречия. Если $N$ -простое и перед ним нет других простых чисел, то $N=2$ но по условию $N>6$



нг

Цитата:

А это не очевидно? Берём $a=1$, …

Цитата:

Доказать, что каждое натуральное число $N ; N>6$ может быть представленно
ввиде суммы двух взаимно простых чисел.

Я пока доказал только это:
Выберем число $a$ такое что $1<a<N-1$ и $(a,N)=1$

[Brukvalub]

enko писал(а):

Brukvalub
Цитата:
А что произойдет в последнем фрагменте Вашего доказательства, если само $N$ - простое?
Не замечаю противоречия.

Вы правы, просто я невнимательно прочел Ваше д-во. Теперь я ещё раз вчитался и оно мне понравилось - ошибки в нем я не вижу .

[незваный гость]

enko писал(а):

Доказать, что каждое натуральное число $N, N>6$ может быть представленно ввиде суммы двух взаимно простых чисел.

нг писал(а):

А это не очевидно? Берём $a = 1$, …

Я думаю, что имелось в виду, что всё Ваше дальнейшее доказательство (начиная с «Я пока доказал только это:») избыточно, поскольку любое $N = 1 + (N-1)$. Заметьте, что в Вашей лемме Вы накладываете на $a$ условие, которого в вопросе нет.

Brukvalub писал(а):

ошибки в нем я не вижу

А я а вот не понял: почему $1 < p_1 p_2 … p_k-1 < N-1$. То есть, его взаимная простота с $N$ доказана, а вот принадлежность к требуемому диапазону — нет. И, вообще говоря, не является пустым звуком: есть (благоразумно исключённое условиями задачи) $N = 6$.

И ещё один нюанс в Ваших рассуждениях. Судя по всему, Вас интересуют не все простые, меньшие $N$, а все простые, меньшие $N-1$ . Поскольку при $N=6$ простота $5$ Вам не мешает и не помогает.

[Brukvalub]

незваный гость писал(а):

А я а вот не понял: почему $1 < p_1 p_2 … p_k-1 < N-1$. То есть, его взаимная простота с $N$ доказана, а вот принадлежность к требуемому диапазону — нет. И, вообще говоря, не является пустым звуком: есть (благоразумно исключённое условиями задачи) $N = 6$.

Я для себя объяснил это так: 1. Перед N есть хотя бы два простых числа, поэтому верно неравенство $1 < p_1 p_2 … p_k-1$.
2.$N=p_1^{a_1}...p_k^{a_k}; a_j>0 $ , поэтому $ p_1 p_2 … p_k < N$. Ведь между N и 2N, если верить Бертрану, находится простое число.

[незваный гость]

Brukvalub писал(а):

$N=p_1^{a_1}...p_k^{a_k}; a_j>0 $

Но кто сказал, что хотя бы одно $a_i > 1$ ?!

Brukvalub писал(а):

Ведь между N и 2N, если верить Бертрану, находится простое число.

Это довольно тонкий факт, я не уверен, что enko хотел бы на него опираться. Но даже он нам не вполне помогает: быть может, гарантированное нам простое число равно $2N - 1$, что нас не интересует.

Добавлено спустя 1 минуту 22 секунды:

P.S. Заметьте, что в исходном условии оговорено $N > 6$, а доказательстве леммы enko нигде этого не упоминает. Подозрительно, не правда ли?

[Brukvalub]

Тогда отвечу анекдотом: К мужчине, пришедшему со всем семейством в зоопарк, обращается испуганный смотритель: там лев затащил вашу тёщу к себе в клетку. На это мужчина сердито отвечает: вот сам затащил, так пусть теперь сам и выкручивается, я ему не помощник

[enko]

Предлагаю такое док-во:

Покажем что отрезок $[N-5; N-2]$ содержит число вз.простое с $N$
Пусть $x$ из $ [N-5; N-2]$ тогда $2<=(N,x)<=5$ т.е. $d=(N,x)=(2,3,4,5)$
исключим все числа кратные $d$ из $[N-5; N-2]$ очевидно в любом случае останутся не кратные $d$ числа, все они будут вз.простыми с $N$

[Someone]

А как быть с $N=30$?

[enko]

Согласен.

[Батороев]

enko писал(а):

Доброго времени суток.

Вот такая задача:

Доказать, что каждое натуральное число $N, N>6$ может быть представленно
ввиде суммы двух взаимно простых чисел.

Мне кажется, что можно рассмотреть данный вопрос от обратного.

Если составное число $ N $ является суммой двух невзаимнопростых чисел, то оно имеет тот же делитель, что и эти числа. Соответственно, если число $ N $ - простое, то оно и не может быть представленно в виде суммы двух невзаимнопростых чисел, а следовательно, всегда представимо в виде суммы двух взаимнопростых чисел.

Числа, имеющие общий делитель с числом $ N $ (невзаимнопростые с $ N $), расположены симметрично середины составного числа $ N $, т.е. это число всегда можно представить в виде суммы двух невзаимнопростых с ним чисел.

Соответственно, числа взаимнопростые с числом $ N $, также расположены симметрично середины числа $ N $ и его также можно всегда представить в виде суммы двух взаимнопростых чисел.

А может быть это - учебная задача?
То-ды "Ой!"

[enko]

Что значит, расположены симметрично середины составного числа $N$ ?

[bot]

Ёлы-палы - может быть хватит изгаляться то?
Ну, забыл он сказать, что каждое слагаемое должнло быть больше 1. А иначе на кой ляд ограничуние N>6?
Ну, тогда годится то самое a=p, которое лежит между N/2 и N.