Дифференциальные уравнения. 2 метод Ляпунова.

[Katmandu]

Дана система:

$$ \begin{cases} \dot x = \ln (1 + y+\sin x),\\ \dot y = 2+\sqrt[3]{3 \sin x - 8} \end{cases} $$

1) Определить положения равновесия
2) Построить систему в отклонениях
3) Построить систему в линейном приближении
4) Тип особой точки, рисунок
5) Для системы линейных приближений построить алгебраическое уравнение Ляпунова, если есть решения строить квадратичную форму.

Решение:
1) Положение равновесия

$$ x = 0 , y = 0 $$

2) Систему в отклонениях не строим, так как $ x = 0, y = 0 $
3) Строим систему в линейном приближении

Воспользуемся формулой

$$ \dot x = f(x,y) = f(0,0) + \frac {\partial{f(0,0)}} {\partial x} x + \frac {\partial{f(0,0)}} {\partial y}y + ... $$

Тогда получим систему в линейных приближениях

$$ \begin{cases} \dot x = x+y,\\ \dot y = -\frac 1 4 x \end{cases} $$

4)
Составим матрицу для системы.

$$ A = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ -\frac 1 4 & 0 \end{pmatrix} $$

находим собственные числа для матрицы $A$.
$ \lambda = \frac 1 2 $ , кратности $2$

Так как $ \operatorname{Re}(\lambda) > 0 $ , то система неустойчива.
Собственный вектор для $\lambda$ единственен и равен

$$ h = \begin{pmatrix} 1\\ -\frac 1 2 \end{pmatrix} $$

откуда можно сделать вывод, что точка $(0, 0)$ - вырожденный узел.

рисунок имеет вид



5) Вот с алгебраическим уравнением Ляпунова возникли вопросы.

оно имеет вид $P^T A + AP = B $, где $B$ - любая отрицательно определенная матрица [не понятно почему так]
, но что делать дальше непонятно. Как выбирать $P$ и $B$.

[SpBTimes]

Katmandu в сообщении #854405 писал(а):

1) Положение равновесия

$$ x = 0 , y = 0 $$

А что, только оно?

[Katmandu]

Нужно было рассмотреть любое положение. И для него построить систему в отклонениях.

-- 25.04.2014, 12:19 --

Katmandu в сообщении #854405 писал(а):

1) Определить положения равновесия

Это не корректно.
1) Найти любое положение равновесия.
Так вернее.

[Katmandu]

Еще нашел такую информацию.

Для асимптотической устойчивости линейной однородной системы с постоянной матрицей $A$ необходимо и достаточно, чтобы для произвольно выбранной постоянной положительно определенной матрицы $Q$ линейная алгебраическая система

$$ A^TP + PA = -Q $$

имела единственное решение относительно $P$ и чтобы это решение представляло собой симметричную положительно определенную матрицу.

Но непонятно, как выбирать матрицу $P$.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: формулы не оформлены $\TeX$ом

Katmandu
Наберите все формулы и термы $\TeX$ом.
Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

[Toucan]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[svv]

Ну, судя по тексту, который Вы привели, матрица $P$ как раз не выбирается, она получается (или не получается) как решение (возможно, не единственное) того уравнения.

[Katmandu]

$A$ в 4 пункте и $A$ в 5-м разные.

в 5 пункте заново рассматривают систему.
матрица $A$ имеет следующий вид.

$$ A = \begin{pmatrix} a & b \\ b & c \end{pmatrix} $$

матрица $P$ как раз-таки выбирается. Но не ясно как.

[svv]

Так слова «чтобы система имела единственное решение относительно $P$» прямо противоречат такой трактовке. Если, конечно, Вы не употребляете выражение «как выбрать $P$» в смысле «как получить $P$ в качестве решения матричного уравнения» (это правильное понимание).