Задачки по дифф геометрии

[loshka]

да я примерно тоже самое и говорил, только я высказывал мысль, что координаты нашего вектора в каждом базисе Френе одинаковы, это неверно оО?

[svv]

Ой, нет...

Наглядная картинка: если бы коэффициенты разложения вектора $\mathbf e$ по базису Френе были постоянными, это означало бы, что вектор $\mathbf e$ жестко связан с базисом Френе и вращается вместе с ним. Неподвижен относительно подвижного базиса. Вморожен в него.

А на самом деле: представьте, что Вы находитесь внутри самолёта (базис Френе), который совершает фигуры высшего пилотажа. Вы смотрите на гироскоп, Вам кажется, что его ось всё время меняет направление. Это действительно так по отношению к самолёту. Гироскоп обязан менять направление оси по отношению к самолёту, чтобы сохранять его по отношению к Земле.

По-другому к этому можно прийти, заметив, что в коэффициентах разложения участвуют $k$ и $\varkappa$, а они меняются от точки к точке.

Только коэффициент при $\mathbf n$ (векторе нормали) постоянный — по условию задачи.

[loshka]

Спасибо svv.

[svv]

loshka
Если по другим предметам у Вас дела получше (ну вот просто не сложились по какой-то причине отношения с дифгемом, и всё), я бы советовал порешать ещё задачки из того задачника (только какие именно, советовать не берусь).

[loshka]

да мне безумно нравится математика, но вот, что-то общий настрой упал, что-то делать, даже на пары скучно ходить, большинство преподов в каком-то упадническом духе, как на второй год мне это передалось

Могли бы подсказать в каком учебнике почитать про индуцированную метрику, с понятием метрика хорошо знаком, давно проходили, а вот индуцированная метрика не могу найти такого термина в учебниках которые читаю по дифф геометрии

[arseniiv]

(Оффтоп)

loshka в сообщении #853157 писал(а):

да мне безумно нравится математика, но вот, что-то общий настрой упал, что-то делать, даже на пары скучно ходить, большинство преподов в каком-то упадническом духе, как на второй год мне это передалось

Позанимайтесь немного ерундой. Вдруг поможет.

Или вот (это я уже начинаю заниматься) игра: возьмите любые известные вам математические понятия (можно написать записочки и перемешать, или написать программу, которая сама будет выдавать случайно пары) и попробуйте найти что-то, одновременно являющееся и тем, и другим. Или хоть как-то связать, если не получится так — например, первые принадлежат второму. Игра только что придумана и не гарантирует ничего, но, опять же, вдруг?

[loshka]

(Оффтоп)

А мне тут фрактальная геометрия понравилась и ее связь с детерминированным хаосом, книжку нормальную пока найти не получается, читаю одну, но там пошла какая-та жуткая топология, а я ее вообще еще не начал изучать

[svv]

Учебника такого не знаю, но попробую сам рассказать.
Это задача 5.22, правильно?

Представьте, что у Вас есть резиновый тор. Он похож на детский надувной круг для плавания, только очень эластичный, легко растягивается и сжимается. Он не обязательно «правильной формы». Чтобы задавать точки на торе, введем пару координат $u$ и $v$. На торе нарисована координатная сетка:

Синяя линяя — одна из координатных линий $u$ (которые получаются, если $u$ менять, а $v$ фиксировать). А красная — одна из координатных линий $v$. Вы можете считать, что на координатных линиях подписаны их фиксированные координаты (как на карте: широты параллелей и долготы меридианов). Легко находить точку с нужными координатами и координаты выбранной точки.

Вопрос. Как, зная только координаты $u$ и $v$ двух точек на торе, можно найти расстояние между ними?

(Ответ)

Никак.

Следующий вопрос: почему?

[loshka]

svv Вы весь задачник прорешали?)

Раз тор неправильный, то раз неизвестно,как он ведет себя между 2 точками то расстояния между ними найти только зная 2 точки нельзя

Вижу, что я совсем не понимаю
Придется читать риманову геометрию, я пробовал, как-то там сложновастенько

[loshka]

я в первый раз вижу такую систему кординат (
Подскажите пожалуйста книжечку попроще про Риманову геометрию

[svv]

loshka в сообщении #853325 писал(а):

Раз тор неправильный, то раз неизвестно,как он ведет себя между 2 точками то расстояния между ними найти только зная 2 точки нельзя

Конечно! Всё правильно.

Если бы нам сказали, что длина бесконечно малого вектора с координатами $du$ и $dv$ равна $ds$, причем
$ds^2=g_{uu}du^2+g_{uv}du\;dv+g_{vu}dv\;du+g_{vv}dv^2$,
и сообщили бы, чему равен каждый из этих коэффициентов $g_{ik}$ как функция координат $u,v$, тогда да. Мы бы тогда могли вычислить длину дуги кривой на торе, находить углы, а там и всё остальное. Это была бы задана риманова метрика.

Есть два разных подхода к введению такой метрики. Их можно назвать «внутренний» и «внешний». При внутреннем подходе Вам просто даются функции $g_{uu}(u,v)$, $g_{uv}(u,v)$ и так далее. Функции эти ничем не обусловлены: метрика такая и всё. При этом можно считать, что тор не находится ни в каком объемлющем пространстве, ни во что не вложен. Существует как бы сам по себе. Существует лишь двумерная вселенная, имеющая топологию тора, и ничего больше. Выйти за пределы тора нельзя. С одной точки тора на другую можно попасть лишь двигаясь по тору. При таком подходе бессмысленно говорить, например, что две точки находятся близко в пространстве, но далеко, если двигаться только по фигуре (как концы буквы С). Бессмысленно говорить также, что тор имеет неправильную форму: нет никакого внешнего эталона правильности формы.

При внешнем подходе нужные функции прямо не задаются. Вместо этого считается, что тор некоторым определенным образом вложен в какое-то пространство или многообразие (например, в $\mathbb R^3$), в котором метрика задана. Если речь об $\mathbb R^3$, то задать тот или иной способ вложения можно, задав функцию $\mathbf r(u, v)$, которая показывает, где именно в нашем родном трехмерном пространстве находится точка с координатами $u,v$.
Легко понять, что в этом случае метрика на торе определяется автоматически. Любая кривая на торе является в то же время и кривой в $\mathbb R^3$, и поэтому её длину можно получить по обычным правилам. Любой угол на торе является в то же время и углом в $\mathbb R^3$. Таким образом, метрика $\mathbb R^3$ как бы наводит (перевод слова индуцирует) метрику на торе. Итак, индуцированная метрика возникает потому, что тор определенным образом вложили куда-то ещё, где метрика уже была. В нашем случае — в $\mathbb R^3$.

Если известен способ вложения $\mathbf r(u, v)$, правила вычисления функций $g_{ik}(u,v)$ такие. Сначала надо найти базисные координатные векторы (как функции $u$ и $v$):
$\mathbf e_u=\frac{\partial \mathbf r}{\partial u}$
$\mathbf e_v=\frac{\partial \mathbf r}{\partial v}$
Затем находим
$\begin{matrix}g_{uu}=\langle e_u,e_u \rangle &g_{uv}=\langle e_u,e_v \rangle\\g_{vu}=\langle e_v,e_u \rangle &g_{vv}=\langle e_v,e_v \rangle\end{matrix}$
И всё, метрика известна.

[loshka]

Спасибо, осознал, попробую построить решение на этой основе, я же правильно понимаю, что в задаче подразумевается площадь поверхности?

[svv]

Да, правильно.

Сначала надо ввести удобным способом координаты $u, v$. В результате Вы должны уметь пересчитывать координаты $u, v$ в декартовы $x,y,z$, т.е. найти функцию $\mathbf r(u,v)$.

Потом надо найти способом, который я описал, метрику, т.е. матрицу
$\begin{pmatrix}g_{uu}&g_{uv}\\g_{vu}&g_{vv}\end{pmatrix}$ ,
составленную из компонент метрического тензора $g_{ik}$, они же коэффициенты первой квадратичной формы поверхности.
http://ru.wikipedia.org/?oldid=53335692

Затем надо найти элемент площади в координатах $u, v$:
$dS=\sqrt g \;du\; dv$,
где $g=\det (g_{ik})$ — определитель написанной выше матрицы.

И проинтегрировать $dS$ по тору.

[loshka]

svv благодарю)
А вы весь задачник прорешали?)

-- 23.04.2014, 19:43 --

как придумаю полное решение, обязательно напишу

[svv]

Что Вы, конечно, нет! Я пытаюсь решить задачу, только если она интересная, или в случае необходимости. Заведомо не нужно решать задачи, которые Вы и так знаете, как решать — трата времени. Кроме того, половина задачника посвящена топологии, а топологию я вообще не знаю (хотя она мне интересна). Я по образованию физик, а дифгем кажется мне почти физикой.