Коммутативная диаграмма

[prof.uskov]

Материал, в котором описаны коммутативные диаграммы, обычно, на английском языке и насыщен специфическими математическими терминами.
Статья в Википедии http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0% ... 0%BC%D0%B0 очень краткая, на английском практически тоже http://en.wikipedia.org/wiki/Commutative_diagram, на немецком чуть подробней, но все равно не достаточно http://de.wikipedia.org/wiki/Kommutatives_Diagramm

Встречал ли кто нибудь подробное описание коммутативных диаграмм на русском языке, изложенное так, чтобы было понятно не математикам, без дополнительной подготовки. Думаю, коммутативные диаграммы могут быть полезны всем использующим в своей деятельности математические соотношения, как средство их удобного графического изображения.

[arseniiv]

prof.uskov в сообщении #851841 писал(а):

Встречал ли кто нибудь подробное описание коммутативных диаграмм на русском языке, изложенное так, чтобы было понятно не математикам, без дополнительной подготовки.

На мой взгляд, это недостаточно точное описание описания. Например, предполагается ли знание основ теории категорий этими «не математиками», или их тоже нужно включить в объяснение, и каковы другие известные этим «не математикам» вещи. От этого зависит и длина, и структура описания, и это, вроде бы, очевидно, чтобы не задавать вопрос так размыто(?)

Ах да, и что конкретно насчёт диаграмм надо объяснить, конечно же. (Например, нужно ли про разные виды стрелочек.)

[Munin]

prof.uskov в сообщении #851841 писал(а):

Встречал ли кто нибудь подробное описание коммутативных диаграмм на русском языке, изложенное так, чтобы было понятно не математикам, без дополнительной подготовки. Думаю, коммутативные диаграммы могут быть полезны всем использующим в своей деятельности математические соотношения, как средство их удобного графического изображения.

В Хелемском "Лекции по функциональному анализу" достаточно кратко и понятно. Собственно, диаграммы - лишь часть категорного языка, но во многом самодостаточная (может применяться даже тогда, когда категории человеку малознакомы и в данной ситуации особо не нужны).

(Цитата на полстранички всего)

Неужели этого недостаточно?

[prof.uskov]

arseniiv в сообщении #851858 писал(а):

prof.uskov в сообщении #851841 писал(а):

Встречал ли кто нибудь подробное описание коммутативных диаграмм на русском языке, изложенное так, чтобы было понятно не математикам, без дополнительной подготовки.

На мой взгляд, это недостаточно точное описание описания. Например, предполагается ли знание основ теории категорий этими «не математиками», или их тоже нужно включить в объяснение, и каковы другие известные этим «не математикам» вещи. От этого зависит и длина, и структура описания, и это, вроде бы, очевидно, чтобы не задавать вопрос так размыто(?)

Ах да, и что конкретно насчёт диаграмм надо объяснить, конечно же. (Например, нужно ли про разные виды стрелочек.)

Знание основ категорий не предполагается, предполагается знания на уровне средней школы. Виды стрелок объяснять нужно. Задача: графически изображать формулы из разных предметных областей.

[Munin]

Как набрать эти диаграммы:

"Коммутативные диаграммы" by [b]Someone

Цитата:

Представляйте себе коммутативную диаграмму как прямоугольную матрицу.

Вот "скелет":

$\xymatrix{X & \\ Y & Z}$

$\xymatrix{X_1 & Y_1 \\ X_2 & Y_2}$

$\begin{array}{c}\xymatrix{X & \\ Y & Z}\end{array}\qquad\text{и}\qquad\begin{array}{c}\xymatrix{X_1 & Y_1 \\ X_2 & Y_2}\end{array}$

Цитата:

В ячейке должно быть написано обозначение узла диаграммы, а следом за обозначением узла - коды стрелок.
Код стрелки начинается с ключевого слова \ar.
... (второй и третий элементы необязательны)
Четвёртый (обязательный) элемент указывает направление и длину стрелки. Он имеет вид [...], где в скобках указывается последовательность букв u (вверх), d (вниз), r (вправо), l (влево). Количество букв определяет число шагов в указанном направлении.

Теперь так:

$\xymatrix{X \ar[d] \ar[rd] & \\ Y \ar[r] & Z}$

$\xymatrix{X_1 \ar[d] \ar[r] & Y_1 \ar[d] \\ X_2 \ar[r] & Y_2}$

$\begin{array}{c}\xymatrix{X \ar[d] \ar[rd] & \\ Y \ar[r] & Z}\end{array}\qquad\text{и}\qquad\begin{array}{c}\xymatrix{X_1 \ar[d] \ar[r] & Y_1 \ar[d] \\ X_2 \ar[r] & Y_2}\end{array}$

Цитата:

Пятый (необязательный элемент) - надпись около стрелки. Этот элемент записывается как ^{текст} (слева от направления стрелки) или _{текст} (справа от направления стрелки).

И наконец:

$\xymatrix{X \ar[d]_{\rho} \ar[rd]^{\sigma} & \\ Y \ar[r]^{\tau} & Z}$

$\xymatrix{X_1 \ar[d]_{\rho} \ar[r]^{\pi} & Y_1 \ar[d]^{\tau} \\ X_2 \ar[r]^{\sigma} & Y_2}$

$\begin{array}{c}\xymatrix{X \ar[d]_{\rho} \ar[rd]^{\sigma} & \\ Y \ar[r]^{\tau} & Z}\end{array}\qquad\text{и}\qquad\begin{array}{c}\xymatrix{X_1 \ar[d]_{\rho} \ar[r]^{\pi} & Y_1 \ar[d]^{\tau} \\ X_2 \ar[r]^{\sigma} & Y_2}\end{array}$

[prof.uskov]

Munin в сообщении #851864 писал(а):

prof.uskov в сообщении #851841 писал(а):

Встречал ли кто нибудь подробное описание коммутативных диаграмм на русском языке, изложенное так, чтобы было понятно не математикам, без дополнительной подготовки. Думаю, коммутативные диаграммы могут быть полезны всем использующим в своей деятельности математические соотношения, как средство их удобного графического изображения.

В Хелемском "Лекции по функциональному анализу" достаточно кратко и понятно. Собственно, диаграммы - лишь часть категорного языка, но во многом самодостаточная (может применяться даже тогда, когда категории человеку малознакомы и в данной ситуации особо не нужны).

(Цитата на полстранички всего)

Неужели этого недостаточно?

Посмотрел. Спасибо. А по проще не?

[Munin]

prof.uskov в сообщении #851882 писал(а):

Знание основ категорий не предполагается, предполагается знания на уровне средней школы.

Ну вот на уровне средней школы достаточно сказать, что диаграмма должна быть коммутативной (в процитированном смысле) всегда, какие бы объекты ни подставлялись в качестве букв. Например:

$$\xymatrix{X\ar[d]_{\rho}\ar[rd]^{\sigma}&\\Y\ar[r]^{\tau}&Z}$$

Пусть $X,Y,Z$ - множества, а $\rho,\sigma,\tau$ - функции (отображения множеств одно в другое). Тогда коммутативность данной диаграммы эквивалентна утверждению $\sigma=\tau\circ\rho$ (композиция функций).

Например, другой пример:
Пусть $X,Y,Z$ - группы (множества с одной операцией, ассоциативной, моноидальной, обратимой), а $\rho,\sigma,\tau$ - гомоморфизмы (отображения групп одной в другую, сохраняющие операцию). Тогда коммутативность данной диаграммы эквивалентна утверждению $\sigma=\tau\circ\rho$ (композиция гомоморфизмов).

И так далее.

prof.uskov в сообщении #851882 писал(а):

Виды стрелок объяснять нужно.

А видов стрелок никаких стандартных нет. В каких-то случаях могут вводиться свои, и там они поясняются, где вводятся.

-- 19.04.2014 21:27:13 --

prof.uskov в сообщении #851886 писал(а):

А по проще не?

А куда уж проще? "Ведёшь пальчиком так, ведёшь сяк - должно получиться одно и то же." Это уже даже школьнику будет понятно, проверьте (если есть под рукой школьник).

-- 19.04.2014 21:30:45 --

То есть, коммутативная диаграмма - это просто другой способ записи формул. Конкретно формул вида $\varphi_n\circ\ldots\circ\varphi_1=\psi_n\circ\ldots\circ\psi_1.$

Особенно он удобен, если этих формул много. То есть, на картинке может быть $N$ стрелочек, в то время как формул для выражения того же самого потребуется $\mathcal{O}(2^N).$

[arseniiv]

Munin в сообщении #851891 писал(а):

А видов стрелок никаких стандартных нет. В каких-то случаях могут вводиться свои, и там они поясняются, где вводятся.

В английско-википедийной статье есть про стрелки «in algebra», для эпи-, моно-, изоморфизмов — в одной бессовестной книжке они не объяснялись, хотя из описания диаграмм, где они впервые появлялись, было ясно, кто это. А вот пунктирная стрелка как «существует» вообще повально встречается, и, вроде, тоже явно не описывается.

prof.uskov в сообщении #851882 писал(а):

Знание основ категорий не предполагается, предполагается знания на уровне средней школы. Виды стрелок объяснять нужно. Задача: графически изображать формулы из разных предметных областей.

Теперь всё ясно!
Только если описывать виды стрелок, вероятно, будет проще определить моно-эпи-изоморфизмы как то, чему они соответствуют в том месте, где диаграммы предполагаются быть. Т. е. в случае Set инъекциями, сюръекциями и биекциями.

Можно написать, кстати, алгоритм получения из диаграммы соответствующей формулы. Только кому он нужен? (Все пути превращаются в композиции, все пути с одинаковыми началом-концом — в конъюнкцию равенств тех композиций, и те потом собираются вместе для всех путей диаграммы в большущую конъюнцкию $a$, после этого в другую конъюнкцию $b$ собираются условия на морфизмы из видов стрелок, потом формула $b\to a$ оборачивается в $\exists f$ для всех штриховых $f$ диаграммы, и потом в $\forall f$ для всех нештриховых $f$ диаграммы — и, вроде, всё.)

[prof.uskov]

Munin, спасибо.
А можно считать коммутативную диаграмму разновидностью семантической сети?
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D1%E5%EC% ... 1%E5%F2%FC

[Munin]

arseniiv в сообщении #851897 писал(а):

В английско-википедийной статье есть про стрелки «in algebra», для эпи-, моно-, изоморфизмов — в одной бессовестной книжке они не объяснялись, хотя из описания диаграмм, где они впервые появлялись, было ясно, кто это. А вот пунктирная стрелка как «существует» вообще повально встречается, и, вроде, тоже явно не описывается.

Спасибо.

arseniiv в сообщении #851897 писал(а):

Можно написать, кстати, алгоритм получения из диаграммы соответствующей формулы. Только кому он нужен? (Все пути превращаются в композиции, все пути с одинаковыми началом-концом — в конъюнкцию равенств тех композиций...

А слабо сформулировать алгоритм получения минимального набора равенств? :-) (Не только в смысле количества равенств, но и в смысле их длины.)

[arseniiv]

Да легко. Как мы получаем минимальное число равенств? Берём (полный) граф с вершинами—равными термами и потом оставляем лишь остовное дерево. А теперь начнём не с такого простого полного графа, а пометим сначала его рёбра соответствующими числами (длина соответствующего ребру равенства) и будем искать минимальное остовное дерево (алгоритмы есть). Для каждого семейства путей получаем «минимальные» равенства независимо, и вместе они дают тот минимальный набор.

Если отойти от строгости и писать цепочки $t_1 = t_2 = t_3 = t_4$, такие минимальные цепочки, очевидно, содержат каждый терм по разу и отличаются лишь порядком следования термов и имеют равную длину, так что тут неинтересно.

[prof.uskov]

Тут еще вопрос возник.
А как на коммутативной диаграмме изобразить функцию нескольких переменных?
Или это невозможно?

[Munin]

Функция нескольких переменных - это по определению функция на декартовом произведении множеств: $f\colon A\times B\to C,$ $(a,b)\mapsto f(a,b).$ Так что, достаточно поставить $A\times B$ в начало стрелки, и вам всё будет.

Там, где применяются коммутативные диаграммы, часто бывают и более замысловатые области определения, чем декартово произведение, например, расслоение.

[prof.uskov]

Munin в сообщении #854139 писал(а):

Функция нескольких переменных - это по определению функция на декартовом произведении множеств: $f\colon A\times B\to C,$ $(a,b)\mapsto f(a,b).$ Так что, достаточно поставить $A\times B$ в начало стрелки, и вам всё будет.

Там, где применяются коммутативные диаграммы, часто бывают и более замысловатые области определения, чем декартово произведение, например, расслоение.

Это я понял. А если хочется от нескольких независимых вершин на диаграмме? Такой вариант не предусмотрен?

[arseniiv]

Если нужны какие-то отдельные соотношения для $A$ и $B$, просто добавьте эти объекты в диаграмму дополнительно. Правда, не знаю, насколько правила категорной вежливости настаивают при этом на включении определения произведения $A\times B$ в ту же диаграмму — кажется, не нужно дабы не загромождать, но мало ли.