Булеан как векторное пространство над полем Z/2Z

[Keter]

Доказать, что булеан $B(M)$ множества $M (|M|=n)$ с операциями сложения и умножения на скаляр из поля $\mathbb{Z}_2$ такими, что $A+B=(A \cup B)\setminus (A \cap B), 1\cdot A=A, 0\cdot A=\varnothing,$ является векторным пространством над полем $\mathbb{Z}_2.$

Решил проверить аксиомы векторного пространства $(V1-V8) (u,v,w\in B(M), 0,1 \in \mathbb{Z}_2):$
$(V1) \quad u+v=v+u$ выполняется, так как имеем $u\Delta v=v \Delta u,$ где $\Delta$ - операция симметрической разности;

$(V2) \quad (u+v)+w=u+(v+w)$ тоже выполняется, так как имеем $u\Delta (v\Delta w)=(u\Delta v) \Delta w;$

$(V3) \quad \exists 0\in B(M) \forall u: u+0=0+u=u;$

$(V4) \quad \forall u \exists x\in B(M): u+x=x+u=0;$

$(V5-V8)$ очевидно выполняются.

Помогите доказать $(V3, V4).$

Очевидно базис $B(M)$ образуют все одноэлементные множества. То есть $\dim B(M)=n.$

[patzer2097]

(V3) - а чему равна симметрическая разность пустого множества и множества $u$?
(V4) - как нужно выбрать $x$, чтобы в симметрической разности с $u$ получилось $\varnothing$?

[Keter]

patzer2097, я тоже взял в $(V3)$ пустое множество, но тогда что с $(V4):$ нужно, чтобы $u\Delta x=\varnothing.$ Так получается, когда $x=u,$ но нам же нужно такое $x,$ что для любого вектора...

-- 19 апр 2014, 18:08 --

patzer2097, прошу прощения, всё правильно, там же для каждого вектора существует. Пора поспать(три ночи не спал и вот теперь лёгкие задачи не могу побить )