Гладкая функция на отрезке

[profrotter]

Помогите привести (желательно максимально простой) пример гладкой функции (ограниченной, бесконечно-дифференцируемой и с ограниченными производными) на конечном интервале, которая равна нулю вместе со своими производными на границах и вне этого интервала.

Я предполагаю, что подойдёт функция вида $f(x)=\exp(-s^2(x))$, где $s(x)$ некоторая гладкая "вертикальная сигмоида", например, $s(x)=\tg(x)$ (один период тангенса) или $s^{-1}(x)=\int\limits_{0}^{x}\exp(-x^2)dx$. Но не нахожу путей доказательства.

[ewert]

$f(x)=\exp(\frac1{x^2-1})$

[ИСН]

Насчёт $f(x)=\exp(-s^2(x)),\;s(x)=\tg(x)$ - это тоже хорошая, годная идея.

[ewert]

А если вдруг захочется, чтобы эта функция ещё и явно интегрировалась, то достаточно взять что-нибудь типа производной от $\arctg\left(x\cdot\exp(\frac1{1-x^2})\right)$.

[profrotter]

А есть какие-нибудь подходы к доказательству, что они обладают требуемыми свойствами или достаточно сказать, что это, мол, очевидно?

[ewert]

profrotter в сообщении #851353 писал(а):

А есть какие-нибудь подходы к доказательству, что они обладают требуемыми свойствами или достаточно сказать, что это, мол, очевидно?

Если вы не на экзамене или на лекции, то достаточно (впрочем, на лекции зачастую тоже достаточно).

[nnosipov]

Так ведь действительно очевидно. Достаточно разобраться с хрестоматийным примером $e^{-1/x^2}$ при $x=0$. Здесь при дифференцировании перед экспонентой вылезет многочлен от $1/x$. Но экспонента победит любой многочлен. И останется только загнать всё это дело в отрезок.

[_Ivana]

Недавно эти "бамп-шапочки" обсуждались на форуме и давались ссылки: раз, два.
А насчет "очевидности", то мне, в отличие от высказанного общего мнения уважаемых и высококвалифицированных ЗУ, например, "очевидно", что приведенный классический пример не обладает требуемыми свойствами, а конкретно пункту

profrotter в сообщении #851336 писал(а):

с ограниченными производными

[nnosipov]

С равномерно ограниченными? А если такой пример вообще?

[_Ivana]

Я понял это требование ТС именно как равномерную ограниченность, он может уточнить что имеется в виду. И в случае равномерной ограниченности, не удивлюсь, если таких примеров не будет. Скорее удивлюсь обратному.

[ewert]

(Оффтоп)

nnosipov в сообщении #851591 писал(а):

Так ведь действительно очевидно.

Правда, с арктангенсами всё формально сложнее; однако интуитивно -- и там очевидно, после чего уже более-менее понятно, как (хотя бы в принципе) можно бороться и с формальностями.

_Ivana в сообщении #851702 писал(а):

И в случае равномерной ограниченности, не удивлюсь, если таких примеров не будет.

Я тоже сильно-сильно удивлюсь, если будет. Равномерная ограниченность производных как-то уж очень резко (как минимум на интуитивном уровне) противоречит заведомой существенности особых точек на концах промежутка.

[profrotter]

Рассмотрим $f(x)=\exp\left(-\frac{1}{1-x^2}\right), x\in[-1,1]$. Её первая и вторая производные имеют вид:

$$f'(x)=\frac{-2x}{(1-x^2)^2}\exp\left(-\frac{1}{1-x^2}\right),$$

$$f''(x)=\left(\frac{-8x^2}{(1-x^2)^3}-\frac{2}{(1-x^2)^2}+\frac{4x^2}{(1-x^2)^4}\right)\exp\left(-\frac{1}{1-x^2}\right).$$

Непосредственным дифференцированием можно убедиться, что если $n$-я производная имеет вид

$$f^{(n)}(x)=\exp\left(-\frac{1}{1-x^2}\right)\sum\limits_lC_{n,l}\frac{x^{k_l}}{(1-x^2)^{m_l}},$$

где $C_{n,l}$ - коэффициенты, $k_l, m_l$ - целые положительные числа, то и $n+1$-я имеет такой же вид. Тогда производные непрерывны, а ограниченность следует из ограниченности функций вида $g(x)=\frac{x^k}{(1-x^2)^m}\exp\left(-\frac{1}{1-x^2}\right)$. На рассматриваемом интервале $|x|^k\leqslant 1$ и $|g(x)|\leqslant\frac{1}{|1-x^2|^m}\exp\left(-\frac{1}{1-x^2}\right)$. Так как $t=\frac{1}{1-x^2}$ изменяется от $1$ до $+\infty$ при $-1\leqslant x\leqslant 1$ и $|t|^me^{-t}$ ограничены, то и $g(x)$ ограничены.

Где-нибудь ошибся? Доказал - не доказал?

Ни про какую равномерную ограниченность я не писал. Полагаю, что если бы она имела место, то можно было бы говорить о разложении функции в ряд Тейлора. Сделав это на границе интервала мы бы получили что она тождественный ноль.

[ewert]

profrotter в сообщении #852266 писал(а):

Где-нибудь ошибся?

Трудно сказать, т.к. читать не возникает никакого желания. Вполне достаточно было сослаться на то, что любая производная есть произведение некоторой рациональной дроби на ту же экспоненту, причём в знаменателе дроби стоит некая (неважно даже какая) степень того же, что и в показателе экспоненты. Этот факт абсолютно формально и в полстрочки доказывается по индукции. После чего всё сводится к тому, что экспонента на бесконечности меняется (в данном случае стремится к нулю) быстрее любой степени.

[Vince Diesel]

_Ivana в сообщении #851702 писал(а):

Я понял это требование ТС именно как равномерную ограниченность, он может уточнить что имеется в виду. И в случае равномерной ограниченности, не удивлюсь, если таких примеров не будет. Скорее удивлюсь обратному.

Ага. Уже обсуждалось тут.

[_Ivana]

profrotter в сообщении #852266 писал(а):

Ни про какую равномерную ограниченность я не писал.

Имхо, ваше требование

profrotter в сообщении #851336 писал(а):

с ограниченными производными

можно понять только как равномерную ограниченность, т.к. просто ограниченность любой производной следует явным образом из остальных требований.
Vince Diesel, спасибо.