Рассмотрим
![$f(x)=\exp\left(-\frac{1}{1-x^2}\right), x\in[-1,1]$ $f(x)=\exp\left(-\frac{1}{1-x^2}\right), x\in[-1,1]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/3/a/73af080712138c0d55e0c38ec56879d782.png)
. Её первая и вторая производные имеют вид:

Непосредственным дифференцированием можно убедиться, что если

-я производная имеет вид

где

- коэффициенты,

- целые положительные числа, то и

-я имеет такой же вид. Тогда производные непрерывны, а ограниченность следует из ограниченности функций вида

. На рассматриваемом интервале

и

. Так как

изменяется от

до

при

и

ограничены, то и

ограничены.
Где-нибудь ошибся? Доказал - не доказал?
Ни про какую равномерную ограниченность я не писал. Полагаю, что если бы она имела место, то можно было бы говорить о разложении функции в ряд Тейлора. Сделав это на границе интервала мы бы получили что она тождественный ноль.