Неравенство

[arqady]

TR63 в сообщении #850814 писал(а):

Тогда из Гёльдера следует:
$A_1\ge3\cdot4\sqrt[3]{\frac{(abc)^2}{(abc)^2}}=12$

Это не Гольдер. Это AM-GM.

TR63 в сообщении #850814 писал(а):

$A_2+A_4+12>6(\frac 1 a+\frac 1 b+\frac 1 c)$
Последнее неравенство верно. Оно является усиленным по отношению к исходному. Значит исходное верно.

Ещё бы!
Когда Вы переносили справа налево, забыли поменять знак.

-- Чт апр 17, 2014 16:18:56 --

Rak so dna в сообщении #850827 писал(а):

arqady в сообщении #850825 писал(а):

$\sum\limits_{cyc}(a^4\left(b^2+c^2-a(b+c)\right)^2+3a^2b^2c^2(a-b)^2)$ не делится на $a^2+b^2+c^2$.

Как Вы это видите?

Подставил $b=c=1$ и не увидел множителя $a^2+2$.
Вот щас увидел! Простите.

[TR63]

arqady в сообщении #850833 писал(а):

Это не Гольдер. Это AM-GM.

Точно, АМ-ГМ.

arqady в сообщении #850833 писал(а):

Когда Вы переносили справа налево, забыли поменять знак.

Не поняла. Я именно поменяла "минус" на "плюс".

[arqady]

TR63 в сообщении #850842 писал(а):

Не поняла. Я именно поменяла "минус" на "плюс".

Вот это же Ваш почерк:

TR63 в сообщении #850392 писал(а):

TR63 в сообщении #850392 писал(а):

Получим:
$(\frac 1 c+\frac 1 b+\frac 1 a-3)^2\ge4(\frac 1 c+\frac 1 b+\frac 1 a)(\frac{ab}{c}+\frac{ac}{b}+\frac{bc}{a})$

Раскрываем скобки с помощью вольфрама, получаем, что должна быть положительной сумма пяти слагаемых:
1).$\frac{1}{a^2}4bc+\frac{1}{b^2}4ac+\frac{1}{c^2}4ab$

2).$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}$

3)$\frac{4a}{b}+\frac{4b}{a}+\frac{4a}{c}+\frac{4c}{a}+\frac{4c}{b}+\frac{4b}{c}$

4).$\frac{2}{ab}+\frac{2}{ac}+\frac{2}{bc}$

5).$-6(\frac 1 a+\frac 1 b+\frac 1 c)+9$
Гёльдера применяю к первому и третьему слагаемому. Затем беру усиленное к полученному усиленному и доказываю его.

[TR63]

Да, всё верно. arqady, не понимаю, что не так.

-- 17.04.2014, 16:49 --

Кроме Гёльдера (надо АМ-ГМ).

[arqady]

Rak so dna, проверил Ваше доказательство. Оно верное. По-моему, на олимпиаде такое вряд ли удастся найти.
Правда, моё доказательство хоть и красивое, но опять же трудно находимое.

-- Чт апр 17, 2014 16:55:00 --

TR63 в сообщении #850849 писал(а):

Да, всё верно. arqady, не понимаю, что не так.

Вы хотите, например, доказать положительность Вашего первого слагаемого (что, впрочем, как-то и так видно). Так оно должно быть в левой части не правда ли?

[TR63]

TR63 в сообщении #850392 писал(а):

получим усиленное неравенство:
$6(\frac 1 a+\frac 1 b+\frac 1 c)<(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})+2(\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc})+12$

Т.е. осталось улучшить это неравенство. arqady, если это слишком просто, то напишите, пожалуйста, ответ. Если нет, то пусть и другие подумают.

-- 17.04.2014, 17:38 --

$3>2$, $2<3$. Я использовала это свойство. "Право", "лево" здесь не имеет значения. Доказать надо положительность пяти групп слагаемых, взятых вместе, т.е.
$A_1+A_2+A_3+A_4+A_5>0$

[Rak so dna]

TR63 в сообщении #850866 писал(а):

TR63 в сообщении #850392 писал(а):

получим усиленное неравенство:
$6(\frac 1 a+\frac 1 b+\frac 1 c)<(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})+2(\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc})+12$

Т.е. осталось улучшить это неравенство. arqady, если это слишком просто, то напишите, пожалуйста, ответ. Если нет, то пусть и другие подумают.

Ваше "усиленное" неравенство равносильно $(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-3)^2+3>0$, только какое отношение оно имеет к неравенству arqady ?

[TR63]

1) $6(\frac 1 a+\frac 1 b+\frac 1 c)<(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})+2(\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc})+12$
2) $(\frac 1 c+\frac 1 b+\frac 1 a-3)^2\ge4(\frac 1 c+\frac 1 b+\frac 1 a)(\frac{ab}{c}+\frac{ac}{b}+\frac{bc}{a})$
Неравенство (2) эквивалентно неравенству arqady. Неравенство (1) усиленно по отношению к неравенству (2). Если надо доказать, что $5>2$, а доказанно, что верно усиленное неравенство $3>2$, то исходное неравенство верно автоматически.

Rak so dna в сообщении #850897 писал(а):

Ваше "усиленное" неравенство равносильно $(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-3)^2+3>0$

"Равносильность"- означает нельзя улучшить? А, arqady писал, что можно. ? И, потом, меня интересует в моём усиленном неравенстве верхняя граница, а не нижняя. Но и на том спасибо. Может, пригодится. Правда, я ещё Ваше неравенство не проверяла.

[Rak so dna]

TR63 писал(а):

"Равносильность"- означает нельзя улучшить? А, arqady писал, что можно.

Ваше неравенство:
$6(\frac 1 a+\frac 1 b+\frac 1 c)<(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})+2(\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc})+12$,
равносильно вот такому:
$(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})+2(\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc})-6(\frac 1 a+\frac 1 b+\frac 1 c)+12>0$, левая часть которого тождественно равна $(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-3)^2+3$, поэтому Ваше неравенство равносильно $(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-3)^2+3>0$, откуда сразу же следует усиление, которое, возможно, имел ввиду arqady:
$6(\frac 1 a+\frac 1 b+\frac 1 c)\leqslant(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})+2(\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc})+9$, для действительных $a, b, c$, не равных $0$

TR63 в сообщении #850976 писал(а):

1) $6(\frac 1 a+\frac 1 b+\frac 1 c)<(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})+2(\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc})+12$
2) $(\frac 1 c+\frac 1 b+\frac 1 a-3)^2\ge4(\frac 1 c+\frac 1 b+\frac 1 a)(\frac{ab}{c}+\frac{ac}{b}+\frac{bc}{a})$

TR63 писал(а):

Неравенство (1) усиленно по отношению к неравенству (2)

Неравенство (1) не может быть сильнее (2), хотя бы потому, что при $a=b=c=\frac{1}{3}$ оно не сохраняет знак равенства.

[TR63]

Rak so dna, по первому пункту всё понятно. Вопросов нет. Прекрасное обьяснение. Спасибо.
По второму пункту Ваш аргумент меня не убедил. Если $5>2$, то существует $2\ge2$. Разве должно обязательно быть $5=2$.

[Rak so dna]

TR63 в сообщении #851196 писал(а):

Rak so dna, по первому пункту всё понятно. Вопросов нет. Прекрасное обьяснение. Спасибо.
По второму пункту Ваш аргумент меня не убедил. Если $5>2$, то существует $2\ge2$. Разве должно обязательно быть $5=2$.

$2\ge2$ сильнее чем $5>2$, потому что из $2\ge2$ следует $5>2$ (к большей части неравенства мы прибавили нечто неотрицательное, и тем самым ослабили его), но никак не наоборот (мы не можем просто так уменьшить большую часть неравенства, что является его усилением). Поэтому, для доказательства неравенства $2\ge2$ мы не можем использовать (пусть и верное) неравенство $5>2$.
И наоборот, для доказательства $5>2$ можно использовать $2\ge2$ например так: $5>2\ge2$.

Т.о. в данном посте, Вы из требуемого (но недоказанного) неравенства:$(\frac 1 c+\frac 1 b+\frac 1 a-3)^2\ge4(\frac 1 c+\frac 1 b+\frac 1 a)(\frac{ab}{c}+\frac{ac}{b}+\frac{bc}{a})$ (в нашем случае $2\ge2$) некими преобразованиями получаете его ослабление : $6(\frac 1 a+\frac 1 b+\frac 1 c)<(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})+2(\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc})+12$ (в нашем случае $5>2$), доказываете его. Но далее, вывод о верности исходного неравенства не верен, т.к. оно не следует из того что доказано.

Попробуете сделать преобразование неравентсва $6(\frac 1 a+\frac 1 b+\frac 1 c)<(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})+2(\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc})+12$ в неравенство $(\frac 1 c+\frac 1 b+\frac 1 a-3)^2\ge4(\frac 1 c+\frac 1 b+\frac 1 a)(\frac{ab}{c}+\frac{ac}{b}+\frac{bc}{a})$ путем "ослабления" первого, раз Вы утверждаете что оно сильнее.

Все, что мне удалось выжать из Вашего неравенства - это $(\frac 1 c+\frac 1 b+\frac 1 a-3)^2\geqslant0$, но мы ведь не можем записать $(\frac 1 c+\frac 1 b+\frac 1 a-3)^2\geqslant0\geqslant4(\frac 1 c+\frac 1 b+\frac 1 a)(\frac{ab}{c}+\frac{ac}{b}+\frac{bc}{a})$, но (для положительных переменных) очевидно: $(\frac 1 c+\frac 1 b+\frac 1 a-3)^2\geqslant4(\frac 1 c+\frac 1 b+\frac 1 a)(\frac{ab}{c}+\frac{ac}{b}+\frac{bc}{a})\geqslant0$, откуда видно, что именно Ваше неравенство следует из исходного, а не наоборот.

(Оффтоп)

Если неравенство обращается в равенство при некоторых значениях переменных, то и его усиление обязано обращаться в равенство как минимум при тех же значениях переменных (но, конечно же, могут появиться новые)

[TR63]

Rak so dna в сообщении #851211 писал(а):

Т.о. в данном посте, Вы из требуемого (но недоказанного) неравенства:$(\frac 1 c+\frac 1 b+\frac 1 a-3)^2\ge4(\frac 1 c+\frac 1 b+\frac 1 a)(\frac{ab}{c}+\frac{ac}{b}+\frac{bc}{a})$ (в нашем случае $2\ge2$) некими преобразованиями получаете его ослабление : $6(\frac 1 a+\frac 1 b+\frac 1 c)<(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})+2(\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc})+12$

Здесь Вы ошибаетесь. У меня после преобразований, при которых я часть положительных слагаемых заменила на меньшие положительные, получается, что надо доказать $5>2$. Я доказываю, что $3>2$. Ослаблением было бы, если б я доказала неравенство при свободном члене, равном, например,55. Ваши аргументы к моему решению отношения не имеют. Пока я не вижу никаких ошибок.

-- 18.04.2014, 12:21 --

Дальнейшие доводы я пока не разбирала (они туманны). Сначала надо разобраться с первым доводом.

[Rak so dna]

TR63
Вы никак не хотите понять, что для доказательства, Вам надо из Вашего (доказанного) неравенства получить требуемое, а не наоборот. Вы же пытаетесь усилить следствие, и даже если это получится, все-равно смысла в этом нет, пока Вы явно не укажите как из него получить исходное неравенство.

Пусть например надо доказать $a^2-1\geqslant0$ для всех $a$. Вы делаете абсолютно правильный вывод, что если исходное неравенство верно, то верно и, допустим $a^2+5\geqslant0$, усиливаете это неравенство: $a^2+3\geqslant0$ и доказываете усиленное неравенство тоже правильно. Но доказательство первоначального неравенства (а как видно оно вообще не верно) никак не следует из доказательств и усилений его следствий.

Ваш метод отлично работает для опровержений (если окажется что следствие не верно, то и само неравенство не верно) но никак не для доказательств.

[TR63]

Rak so dna в сообщении #851246 писал(а):

Пусть например надо доказать $a^2-1\geqslant0$ для всех $a$. Вы делаете абсолютно правильный вывод, что если исходное неравенство верно, то верно и, допустим $a^2+5\geqslant0$, усиливаете это неравенство: $a^2+3\geqslant0$

Опять приписываете мне то, чего я не думаю и не делаю. Усилением к $a^2-1\ge1$ будет $a^2-3\ge1$. Я применяю усиление два раза. В Вашем примере одно усиление. Прошу обратить внимание на этот момент. Это совершенно разные ситуации.

[Rak so dna]

TR63 возможно я что-то упускаю в ходе Ваших рассуждений. Я правильно понимаю, что Вы усиливаете 1-е и 3-е слагаемые, из полученных Вами 5-ти, после раскрытия скобок? Если да, то покажите какие именно слагаемые у Вас получились после усиления.