Пространственная инверсия и перестановка частиц

[Name XXX]

Пусть есть две тождественные частицы с орбитальными моментами $l_{1}, l_{2}$. Частицы не взаимодействуют. Тогда состояние этих двух частиц описывается как прямое произведение представлений моментов $l_{1}, l_{2}$ и распадается в прямую сумму представлений с моментами $L = |l_{1} - l_{2}|, ... l_{1} + l_{2}$. Соответствующие волновые функции при перестановке частиц местами умножаются на $(-1)^{L}$. С другой стороны, при пространственной инверсии произведение $| l_{1}\rangle , | l_{2}\rangle$ также умножается на $(-1)^{L}$.
Вопрос: можно ли в данном случае утверждать, что симметрия относительно пространственной инверсии эквивалентна симметрии относительно перестановке частиц? Другими словами, верно ли, что знание симметрии относительно инверсии дает знание симметрии относительно перестановки частиц?

[Munin]

Name XXX в сообщении #850891 писал(а):

Вопрос: можно ли в данном случае утверждать, что симметрия относительно пространственной инверсии эквивалентна симметрии относительно перестановке частиц?

Да.

Name XXX в сообщении #850891 писал(а):

Другими словами, верно ли, что знание симметрии относительно инверсии дает знание симметрии относительно перестановки частиц?

Нет. Нужно ещё знать, что они эквивалентны.

[Name XXX]

Munin, а как доказать эквивалентность?

[Munin]

А вы её уже доказали. Или нет?..

-- 17.04.2014 19:52:33 --

А, нет, стойте. Вы говорите, что

Name XXX в сообщении #850891 писал(а):

...при пространственной инверсии произведение $| l_{1}\rangle , | l_{2}\rangle$ также умножается на $(-1)^{L}$.

- но ведь это произведение не принадлежит ни одному отдельному представлению, и поэтому для него нет единственного значения $L$ - так на что же оно умножается?

[Name XXX]

Munin, а эта эквивалентность - лишь математическая? Под этим я имею в виду, что в данном конкретном случае операция инверсии осей не совпадает с операцией перестановки частиц. То есть, что перестановку частиц нельзя представить как инверсию осей. Но само фазовое преобразование функции совпадает.

-- 17.04.2014, 18:04 --

Цитата:

- но ведь это произведение не принадлежит ни одному отдельному представлению, и поэтому для него нет единственного значения $L$ - так на что же оно умножается?

Да, пропустил это. Я зафиксировал суммарный момент, выбрав из прямой суммы представлений одно, и для него уже рассматривал операции инверсии и перестановки частиц местами.

[Munin]

Name XXX в сообщении #850935 писал(а):

Munin, а эта эквивалентность - лишь математическая? Под этим я имею в виду, что в данном конкретном случае операция инверсии осей не совпадает с операцией перестановки частиц. То есть, что перестановку частиц нельзя представить как инверсию осей.

Я полагаю, что и физическая. Но это моё личное мнение, оно зависит от философской позиции (мировоззрения), и вы его можете не принимать. Ничего плохого не будет, если вы будете считать её лишь математической - лишь бы вы рассчитывать умели.

Разумеется, если в мире есть что-то ещё, то пространственная инверсия подействует не только на нашу двухчастичную систему, в отличие от перестановки. Но если в мире больше ничего нет - почему бы и нет?

Доп. см. Фейнман, Вайнберг "Элементарные частицы и законы физики". Там Фейнман рассказывает, как "слишком абстрактную" операцию перестановки частиц можно представить себе как вполне физические действия над частицами. Это поможет интуиции (надеюсь).