Сам не давно задумался над этим вопросом.
Задумываться - хорошо. Но прочитать что-то, и задумываться над прочитанным - стократ лучше.
Я вот что хотел спросить, можно ли утверждать, что есть не искривленное пространство-время в нашей Вселенной?
Надо понимать, что "искривлённость" - это количественная величина. Рассмотрим, например, сферу. Если мы будем рассматривать её на масштабах её радиуса (то есть, например, сфера радиусом 1 метр, и мы смотрим на участок сферы, размером 1 метр), то она, конечно, будет сильно искривлена. Но если мы посмотрим на неё "в микроскоп", то увидим гораздо более плоскую и неискривлённую поверхность. Например, если мы рассмотрим на сфере участок размером в 1 миллиметр (или увеличим радиус сферы до 1 километра, а сами останемся на масштабе 1 метр), то отличие сферы от плоскости будет порядка 1 к миллиону. А ваш письменный стол - плоский с точностью до 1 к миллиону? Что-то я сомневаюсь :-) Но в практическом смысле он достаточно плоский - вот и участок сферы оказывается достаточно плоским.
Точно так же, и искривлённое гравитацией пространство-время - может считаться неискривлённым на достаточно малых масштабах. Например, там, где вы сидите (или где сидит Ньютон под яблоней) - там радиус кривизны пространства-времени 1 световой год. "Достаточно плоское", не так ли? Ведь высота яблони - порядка единиц метров. Поэтому, кстати, мы в быту и не замечаем отличий геометрии нашего пространства от евклидовой геометрии. Точно так же, и с галактиками и т. п. - всегда есть какой-то масштаб, на котором пространство-время можно считать неискривлённым. Часто он даже гораздо больше, чем 1 метр.
Это был рассказ с физической точки зрения. А теперь с математической. Математики не любят конкретных чисел, в отличие от физиков. Поэтому математики выражают это иначе. Величина отклонения участка пространства от плоскости - назовём её, скажем,

- оказывается зависящей от размера участка (назовём его, скажем,

). Разумеется, она зависит и от того, что именно мерять, и от того, как именно участок выбрали, но допустим, мы об этом обо всём договорились. И теперь мы можем рассмотреть функцию

и в частности, что с ней происходит, если мы устремим

Оказывается, что при этом

тоже будет

причём часто это стремление будет того же порядка, что и какая-то степень

:

(в зависимости от того, какую именно величину мы назвали

). Например, для сферы отклонение будет

и около нуля эта величина

- то есть, пропорциональна квадрату

И ряд математических свойств и теорем можно рассматривать, пренебрегая членами более высокой степени, то есть, заменяя функцию на более простую, и именно эти свойства и теоремы становятся основой физических понятий и законов. Например, вы, наверное, знаете, что основа механики - 2 закон Ньютона - это дифференциальное уравнение, которое связывает ускорение и силу. Так вот, ускорение - это изменение скорости за время, но после того, как мы пренебрегли членами более высокой степени, и оставили только самый простой первый член. Аналогично происходит и во всей физике, и в том числе, в теории гравитации. Из такого рассмотрения (которым занимается раздел математики
дифференциальная геометрия) получаются дифференциальные уравнения для движения тела в гравитационном поле, и для самого гравитационного поля под влиянием тел.
-- 15.04.2014 20:48:00 --Можно ли утверждать, что, так сказать, суммарное искривление пространства-времени в нашей Вселенной уменьшается с ее экспансией?
Смотря, что под этим понимать. Есть разные математические величины, которые связываются с искривлением, но нет ни одной, которая называется "искривлением". Есть радиус кривизны, есть кривизна (даже целый набор: скалярная кривизна, секториальная, тензор Риччи, тензор Римана - наиболее полное собрание сведений о кривизне), есть угловой дефект, и так далее.
Некоторые из этих величин уменьшаются с расширением Вселенной. Некоторые остаются постоянными. Некоторые даже растут (например, радиус кривизны).