Сам не давно задумался над этим вопросом.
Задумываться - хорошо. Но прочитать что-то, и задумываться над прочитанным - стократ лучше.
Я вот что хотел спросить, можно ли утверждать, что есть не искривленное пространство-время в нашей Вселенной?
Надо понимать, что "искривлённость" - это количественная величина. Рассмотрим, например, сферу. Если мы будем рассматривать её на масштабах её радиуса (то есть, например, сфера радиусом 1 метр, и мы смотрим на участок сферы, размером 1 метр), то она, конечно, будет сильно искривлена. Но если мы посмотрим на неё "в микроскоп", то увидим гораздо более плоскую и неискривлённую поверхность. Например, если мы рассмотрим на сфере участок размером в 1 миллиметр (или увеличим радиус сферы до 1 километра, а сами останемся на масштабе 1 метр), то отличие сферы от плоскости будет порядка 1 к миллиону. А ваш письменный стол - плоский с точностью до 1 к миллиону? Что-то я сомневаюсь :-) Но в практическом смысле он достаточно плоский - вот и участок сферы оказывается достаточно плоским.
Точно так же, и искривлённое гравитацией пространство-время - может считаться неискривлённым на достаточно малых масштабах. Например, там, где вы сидите (или где сидит Ньютон под яблоней) - там радиус кривизны пространства-времени 1 световой год. "Достаточно плоское", не так ли? Ведь высота яблони - порядка единиц метров. Поэтому, кстати, мы в быту и не замечаем отличий геометрии нашего пространства от евклидовой геометрии. Точно так же, и с галактиками и т. п. - всегда есть какой-то масштаб, на котором пространство-время можно считать неискривлённым. Часто он даже гораздо больше, чем 1 метр.
Это был рассказ с физической точки зрения. А теперь с математической. Математики не любят конкретных чисел, в отличие от физиков. Поэтому математики выражают это иначе. Величина отклонения участка пространства от плоскости - назовём её, скажем,
- оказывается зависящей от размера участка (назовём его, скажем,
). Разумеется, она зависит и от того, что именно мерять, и от того, как именно участок выбрали, но допустим, мы об этом обо всём договорились. И теперь мы можем рассмотреть функцию
и в частности, что с ней происходит, если мы устремим
Оказывается, что при этом
тоже будет
причём часто это стремление будет того же порядка, что и какая-то степень
:
(в зависимости от того, какую именно величину мы назвали
). Например, для сферы отклонение будет
и около нуля эта величина
- то есть, пропорциональна квадрату
И ряд математических свойств и теорем можно рассматривать, пренебрегая членами более высокой степени, то есть, заменяя функцию на более простую, и именно эти свойства и теоремы становятся основой физических понятий и законов. Например, вы, наверное, знаете, что основа механики - 2 закон Ньютона - это дифференциальное уравнение, которое связывает ускорение и силу. Так вот, ускорение - это изменение скорости за время, но после того, как мы пренебрегли членами более высокой степени, и оставили только самый простой первый член. Аналогично происходит и во всей физике, и в том числе, в теории гравитации. Из такого рассмотрения (которым занимается раздел математики
дифференциальная геометрия) получаются дифференциальные уравнения для движения тела в гравитационном поле, и для самого гравитационного поля под влиянием тел.
-- 15.04.2014 20:48:00 --Можно ли утверждать, что, так сказать, суммарное искривление пространства-времени в нашей Вселенной уменьшается с ее экспансией?
Смотря, что под этим понимать. Есть разные математические величины, которые связываются с искривлением, но нет ни одной, которая называется "искривлением". Есть радиус кривизны, есть кривизна (даже целый набор: скалярная кривизна, секториальная, тензор Риччи, тензор Римана - наиболее полное собрание сведений о кривизне), есть угловой дефект, и так далее.
Некоторые из этих величин уменьшаются с расширением Вселенной. Некоторые остаются постоянными. Некоторые даже растут (например, радиус кривизны).
![$\[d{s^2} = {c^2}d{t^2} - d{r^2} = {c^2}dt{'^2}\]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/c/33cf01198f2a2e042ed06206d40e3bbf82.png "$\[d{s^2} = {c^2}d{t^2} - d{r^2} = {c^2}dt{'^2}\]$")
. Откуда ![$\[\Delta t' = \int\limits_{{t_1}}^{{t_2}} {\sqrt {1 - \frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}} dt} \]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/d/5/9d58d28ce01f87ed50110c181b366bbc82.png "$\[\Delta t' = \int\limits_{{t_1}}^{{t_2}} {\sqrt {1 - \frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}} dt} \]$")
![$\[d{s^2} = {g_{ik}}d{x^i}d{x^k}\]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/5/9/d59a53e2630233a3d39dc33aea52b1c882.png "$\[d{s^2} = {g_{ik}}d{x^i}d{x^k}\]$")
(по повторяющимся индексам предполагается суммирование). Отделяя временную переменную![$\[d{s^2} = {g_{\alpha \beta }}d{x^\alpha }d{x^\beta } + 2{g_{0\alpha }}d{x^0}d{x^\alpha } + {g_{00}}{(d{x^0})^2}\]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/9/a/39a4576846ccb91f74f8e288d798e87082.png "$\[d{s^2} = {g_{\alpha \beta }}d{x^\alpha }d{x^\beta } + 2{g_{0\alpha }}d{x^0}d{x^\alpha } + {g_{00}}{(d{x^0})^2}\]$")
.![$\[\Delta t' = \frac{1}{c}\int\limits_{{t_1}}^{{t_2}} {\sqrt {{g_{00}} + 2{g_{0\alpha }}{{\dot x}^\alpha } + {g_{\alpha \beta }}{{\dot x}^\alpha }{{\dot x}^\beta }} d{x^0}} \]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/c/6/8c60a170a8e65e8d7fdc3e72fc9a090a82.png "$\[\Delta t' = \frac{1}{c}\int\limits_{{t_1}}^{{t_2}} {\sqrt {{g_{00}} + 2{g_{0\alpha }}{{\dot x}^\alpha } + {g_{\alpha \beta }}{{\dot x}^\alpha }{{\dot x}^\beta }} d{x^0}} \]$")
![$\[\frac{1}{c}\]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/1/9/d19ce9682cc2dd4a556fa2b2cb36970782.png "$\[\frac{1}{c}\]$")
)![$\[i,k\]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/0/5/90596b90cd0533eb3435c8b9e399d90e82.png "$\[i,k\]$")
бегут от 0 до 3, индексы ![$\[\alpha ,\beta \]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/e/8/0e8919793ad421d67fd07c2f01a1686582.png "$\[\alpha ,\beta \]$")
- от 1 до 3
где 
- ньютоновский гравитационный потенциал, и 
- обычно величина очень малая, по сравнению с единицей. Например, около Земли она порядка 
на поверхности Солнца - порядка 
а приближается к единице только на поверхности нейтронных звёзд и в окрестности чёрных дыр (тогда ньютоновское приближение не работает, и формула усложняется).![$$\[\Delta t' = \int\limits_{{t_1}}^{{t_2}} {\sqrt {1 - \frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}} dt} \]$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/e/2/de2400fac805aa5e26268289beb2ee5a82.png "$$\[\Delta t' = \int\limits_{{t_1}}^{{t_2}} {\sqrt {1 - \frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}} dt} \]$$")
а (из условия 
)
(с учётом того, что гравитационный потенциал в теории Ньютона всегда отрицательный).
