Медленно растущая функция.

[Brukvalub]

Недавно ко мне на переменке подошел коллега-физик и спросил: можно ли, ни разу не использовав знака логарифма, написать формулу, задающую монотонно возрастающую для достаточно больших $x$ бесконечно большую в $+\infty$ элементарную функцию, которая в $+\infty$ была бы 0-малое от логарифма. Понимаю, что вопрос звучит странно, но, к своему стыду, я пока не нашел на него достойного ответа, вот и решил позабавить этим вопросом почтенную публику.

[Oleg Zubelevich]

да, вопрос звучит странно, в особенности он звучит странно из уст физика

[Brukvalub]

Oleg Zubelevich в сообщении #847530 писал(а):

да, вопрос звучит странно, в особенности он звучит странно из уст физика

Поясню: сын физика изучает основы матана на первом курсе физтеха. После изучения "шкалы роста функций" "крошка сын к отцу пришел, и спросила кроха...", а уж отец пришел ко мне.

[venco]

$\sh^{-1}(\sh^{-1}(x))$

[Brukvalub]

venco в сообщении #847536 писал(а):

$\sh^{-1}(\sh^{-1}(x))$

Ну, боюсь, что так мне слона не продать ни первокура, ни, тем более, его папу надурить не удастся.
Сейчас даже продвинутые первокуры знают, что "ареашинус" - это просто сокращенное обозначение для логарифма некоторой элементарной функции. А от меня требовалось избежать этого самого логарифма, причем не путем пере-обозначений, а по-существу!

[sergei1961]

Слишком узок круг этих революционеров, которые остались. Через интеграл нельзя? Или двойной логарифм через обратную к экспонентам. Это всё-таки просто прикол, конечно.

[Brukvalub]

Нельзя! Требуется написать формулу, задающую именно элементарную функцию, просто какую попало функцию и первокур задаст.

[patzer2097]

не знаю, устроит ли Вас такое

$$ \int\limits_1^{^{\int\limits_1^x\,du/u}}\,\,\frac{dt}{t}, $$

но Вашим условиям

Brukvalub в сообщении #847525 писал(а):

ни разу не использовав знака логарифма, написать формулу, задающую монотонно возрастающую для достаточно больших $x$ бесконечно большую в $+\infty$ элементарную функцию, которая в $+\infty$ была бы 0-малое от логарифма

оно удовлетворяет

[Brukvalub]

Эта функция не элементарная, поэтому она не удовлетворяет условию.

[patzer2097]

Brukvalub в сообщении #847586 писал(а):

Эта функция не элементарная, поэтому она не удовлетворяет условию.

это Вам только так кажется

$$\int\limits_1^{^{\int\limits_1^x\,du/u}}\,\,\frac{dt}{t}=\ln\ln\,x$$

при $x>1$

[Brukvalub]

Позволю себе напомнить Вам традиционное определение:
Элементарной называется функция, задаваемая формулой, которая получается из основных элем. функций применением конечного числа алгебраических действий и композиций.

[patzer2097]

Brukvalub в сообщении #847591 писал(а):

Элементарной называется функция, задаваемая формулой, которая получается из основных элем. функций применением конечного числа алгебраических действий и композиций.

спасибо за напоминание, но я думаю, что Вы и сами видите, что функция $\ln\ln\,x$ элементарная

[g______d]

А целая часть разрешается?

[Brukvalub]

patzer2097 в сообщении #847595 писал(а):

Brukvalub в сообщении #847591 писал(а):

Элементарной называется функция, задаваемая формулой, которая получается из основных элем. функций применением конечного числа алгебраических действий и композиций.

спасибо за напоминание, но я думаю, что Вы и сами видите, что функция $\ln\ln\,x$ элементарная

Да, я вижу, что эта функция - элементарная. Но, когда мы говорим об "истинно элементарных функциях", мы говорим именно об предписанных жесткими правилами записях таких функций. Я думаю, что Вы и сами видите, что функция, выписанная Вами с помощью непонятного значка "вытянутое S" требованиям к записи "истинно элементарной функции" не удовлетворяет.
Так что Ваш "пример" не годится.

-- Чт апр 10, 2014 10:48:16 --

g______d в сообщении #847668 писал(а):

А целая часть разрешается?

Раз других примеров нет, то готов "принять в дар" пример с целой частью (хотя и с большой долей скептицизма ).

[ИСН]

C целой частью - Вам сейчас выкатят какую-нибудь частичную сумму гармонического ряда, а лучше ряда обратных простых.