Бесконечно гладкие функции с "врезками"

[g______d]

_Ivana в сообщении #846812 писал(а):

- включая нулевые, и наш текущий элемент последовательности многочленов готов. У него в нуле и единице первые $N$ производных (с нулевой по $N-1$ - ю) совпадают с нашей функцией. А далее просто увеличиваем $N$.

А, ну да, если нужно склеить первые $N$ производных, то достаточно многочлена. Только это ваше "увеличиваем $N$" является самым тонким моментом. Доказать, что последовательность бесконечно гладких функций сходится к бесконечно гладкой функции обычно довольно муторно.

_Ivana в сообщении #846812 писал(а):

2) Как из существования ряда Тэйлора бесконечно гладкой функции в одной точке (с известными коэффициентами разложения) следует существование и сходимость к пределу такой же конструкции, но заданной в двух точках?

Из того, что это локальное свойство. Возьмем 2 функции, у одной заданный ряд Тейлора в точке 0 (совершенно не обязательно сходящийся, может быть с любым ростом коэффициентов кстати), у другой в точке 1. Срежем одну в окрестности нуля, вторую в окрестности единицы и сложим.

_Ivana в сообщении #846385 писал(а):

во всех внутренних точках своей области определения она бесконечно дифференцируема.

Этого, кстати, недостаточно. Надо еще потребовать, чтобы все производные были непрерывны вплоть до границы, иначе могут быть примеры вроде $1/x$ при $x>0$ и $1/(x+1)$ при $x<-1$.

[_Ivana]

g______d в сообщении #846869 писал(а):

Из того, что это локальное свойство. Возьмем 2 функции, у одной заданный ряд Тейлора в точке 0 (совершенно не обязательно сходящийся, может быть с любым ростом коэффициентов кстати), у другой в точке 1. Срежем одну в окрестности нуля, вторую в окрестности единицы и сложим.

Простите, не понимаю. Возьмем мой пример выше - две константы. Ряд одной в нуле - тождественный ноль, ряд второй в единице - тождественная единица. Как их срезАть в окрестностях и склеивать, чтобы получить бесконечно гладкий переход?

[g______d]

_Ivana в сообщении #846876 писал(а):

Возьмем мой пример выше - две константы. Ряд одной в нуле - тождественный ноль, ряд второй в единице - тождественная единица.

С двумя константами вообще просто. Существует функция, равная нулю при $x<0$, единице при $x>0$ и бесконечно гладкая на $\mathbb R$. Ее и вклеим.

Как строится такая функция? Сначала рассмотрим вспомогательную функцию $f(x)=e^{\frac{1}{x(x-1)}}$ при $x\in (0,1)$ и $f(x)=0$ для всех остальных $x$. Это пример всем известной bump function. Потом введем $g(x)=\int\limits_{-\infty}^x f(t)\,dt$. Функция $g$ обладает всеми нужными свойствами кроме того, что при $x>1$ она равна неизвестно чему (не знаю, чему равен интеграл, может и берется). Поэтому надо умножить $g$ на константу.

В общем случае, если мы научились строить функцию с заданным рядом Тейлора в одной точке $x_0$, то с помощью умножения на функции типа $g$ можно дополнительно заставить ее быть равной нулю везде кроме $(x_0-\varepsilon,x_0+\varepsilon)$ и потом сложить 2 функции такого вида для разных $x_0$.

[_Ivana]

То есть, если я правильно понял, мы конструируем специальную "оконную" функцию $w$, которая бесконечно гладкая, равная тождественному нулю в окрестности нуля, и тождественной единице во внутренней подокрестности этой окрестности. А далее получаем по коэффициентам ряда Тэйлора нашу функцию в одной точке, умножаем ее на $w$ ("срежем" по вашей терминологии) и сложим с такой же "срезанной" по другой точке. Это похоже на то, что предлагал Munin. Все хорошо. Но не многочлены Зато гарантированная сходимость. К сумме двух функций, срезанных на середине интервала до нуля.

[g______d]

_Ivana в сообщении #846889 писал(а):

А далее получаем по коэффициентам ряда Тэйлора нашу функцию в одной точке, умножаем ее на $w$ ("срежем" по вашей терминологии) и сложим с такой же "срезанной" по другой точке.

Так сразу нет; здесь еще важен момент

g______d в сообщении #846880 писал(а):

В общем случае, если мы научились строить функцию с заданным рядом Тейлора в одной точке $x_0$

Это лемма Бореля, (излишне) общую формулировку и доказательство можно посмотреть здесь: http://en.wikipedia.org/wiki/Borel%27s_lemma

Два раза применяя эту лемму и используя срезки, можно получить такой факт: для любых двух последовательностей $a_n$, $b_n$ существует бесконечно гладкая функция на $(0,1)$, все производные которой непрерывны вплоть до границы, левые производные в точке $0$ образуют последовательность $a_n$, правые производные в точке $1$ образуют последовательность $b_n$.

[_Ivana]

g______d, лемму Бореля навскидку не осознал, но по вашей ссылке перешел вот сюда, где увидел мою $w$ под именем $h$ и некоторые слова, напоминающие ваши идеи.

[g______d]

Да, по ссылке проще и понятнее и без лишнего параметра. Я бы не стал называть это моими идеями; это нечто уже лет 100 известное.

[_Ivana]

g______d в сообщении #846960 писал(а):

это нечто уже лет 100 известное.

Да, я уже увидел там мои придуманные "шапочки", "гладкие ступеньки" из экспонент и прочие идеи, которые мне было лень поискать в википедии Очередной раз пытаюсь изобрести 100 лет известные велосипеды. Но еще остались вопросы. Например, если предположить, что мой многочлен, сглаживающий ступеньку, сходится к какой-то функции, то явно не к той, которая представлена по ссылке (из экспонент).

[g______d]

_Ivana в сообщении #846970 писал(а):

Например, если предположить, что мой многочлен, сглаживающий ступеньку, сходится к какой-то функции, то явно не к той, которая представлена по ссылке (из экспонент).

Ну очевидно, что ступеньку с такими же свойствами можно выбрать бесконечным числом способов. Например, заменить экспоненту на $e^{-\frac{1}{x^2(x-1)^2}}$. Поэтому нет никакой причины, чтобы многочлены сходились именно к ней.

Кроме того, напоминаю, что сходимость должна быть не только у самих многочленов, но и у всех их производных.

[Dan B-Yallay]

_Ivana в сообщении #846970 писал(а):

Например, если предположить, что мой многочлен, сглаживающий ступеньку, сходится к какой-то функции, то явно не к той, которая представлена по ссылке (из экспонент)

Имеется в виду последовательность многочленов сходится к функции или я не ф теме?

[_Ivana]

Dan B-Yallay Да, я проглотил некоторые нужные слова для краткости и по незнанию. Конечно же имеется в виду последовательность многочленов, при увеличении их степени. Как, например, последовательность базисных многочленов Лагранжа при увеличении степени сходится к синку. Вот и здесь я хотел обнаружить что-то подобно красивое из этий серии.

[Dan B-Yallay]

_Ivana
Ясно. У меня только этот вопрос был, а по существу добавить пока нечего...

[Munin]

_Ivana в сообщении #846970 писал(а):

Очередной раз пытаюсь изобрести 100 лет известные велосипеды.

Это, в общем, хорошо. Пока вы:
- признаёте, что это велосипеды;
- смотрите, ездят они или нет (ваши), и сравниваете их по этому параметру с чужими.
Мозги развивает.

[g______d]

_Ivana в сообщении #846976 писал(а):

Как, например, последовательность базисных многочленов Лагранжа при увеличении степени сходится к синку.

Если вы хотите идти по этому пути, то первым вопросом должно быть "как именно сходятся?". А, хотя я повторяюсь.

[_Ivana]

Я могу ошибаться, но у меня подозрение, что базисные многочлены Лагранжа сходятся к синку со всеми своими производными. И еще я бы добавил, на любом конечном интервале.
В случае "врезки" интервал задан и конечен по условию. Только что будет при увеличении степени, пока не получается промоделировать. И если интерполяцию Лагранжем я рассчитывал до полиномов степеней порядка нескольких тысяч на старой бухгалтерской программе, то сейчас на Матлабе пока не придумаю, как рассчитать эти "врезки" до степеней больше пары десятков.