Условный экстремум функции трёх переменных

[AlterEgo]

Здравствуйте. Не получается решить следующие два примера по сабжу.
№1: $ f(x,y,z) =\frac {x^3}{3} + y + \frac{z^2}{2},&x + y + z = 2 $
№2: $ f(x,y,z) = (x+1)^2 + (y+1)^2 + (z-3)^2$, $x^2 + y^2 = -2z$, $x + y + z = 1$

Оба примера пытался решить с помощью функции Лагранжа.
Первый пример вроде не сложный, но у меня не получается сделать вывод является ли найденная стационарная точка, точкой экстремума. (но тут желательно полное решение, ибо сомневаюсь в верности своего решения)
Во втором примере не получается после нахождения первых производных и выражения переменных найти коэффициенты $\lambda_1$ и $\lambda_2$

Вот то, что нарешал сам.
1) $L = (x^3)/3 + y + (z^2)/2 + \lambda(x+y+z-2) $
Составляем систему:
$ \begin{cases} \frac {dL} {dx} = x^2 + \lambda$\\ \frac {dL} {dy} = \lambda$\\ \frac {dL} {dz} = z + \lambda$$\\ \frac {dL} {d\lambda} = x+y+z-2$ \end{cases} $\Rightarrow$ $ \begin{cases} x = \sqrt{-\lambda}\\ \lambda = 0\\ z= - \lambda \\ x+y+z=2 \end{cases}$ $\Rightarrow$ $y=2$, а значит $M(0;2;0)$
Находим 2-е производные, причём смешанные обнуляются. Строим полный второй дифференциал, а затем на основании коэффициентов строим матрицу (по идее), но тут у нас встает $ 2x $ перед второй производной по иксу. Здесь я не понимаю что делать.

2) Расписывать не буду, просто скажу чему равны первые частные производные по Лагранжу.
$ \begin{cases}x=- \frac {2+ \lambda_2} {2(1+\lambda_1)}\\ y = - \frac {2+ \lambda_2} {2(1+\lambda_1)} \\ z=3-\lambda_1 - \frac {1}{2}\lambda_2 \end{cases}$
Выражая $x$ и $z$ (т.к. $x=y$) из приравненных нулю частных производных по лямбдам, приходил к каким-то более скромным подстановкам, но они в итоге не давали корректного решения. Но тут меня следует проверить, возможно ли так делать вообще, ну и мб у меня ошибка.

Заранее благодарю!

[Limit79]

Вы бы свое решение показали бы.

[SpBTimes]

Так может быть вы напишите все то, что у вас вышло?

[provincialka]

Хм, а что, просто выразить $z$ и подставить нельзя? Впрочем, вам, наверное, надо "показать класс" во владении методом Лагранжа.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
1. Запишите формулы в соответствии с требованиями Правил форума, т.е. в $\TeX$.
Краткие инструкции можно найти здесь: topic8355.html и topic183.html.
Кроме этого, в теме Видео-пособия для начинающих форумчан можно посмотреть видео-ролик "Как записывать формулы".

2. Приведите свои попытки решения и/или укажите затруднения.

После того как исправите сообщение, сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[provincialka]

В первом задании неправильно найдена производная по $y$.

(Оффтоп)

И, для проверки, сведите к локальному экстремуму (выразите из условия $y$)

[AlterEgo]

Да, вы правы. Перерешал дальнейшее. Я буду прав, если скажу, что в единственной стационарной точке $M(1;0;1)$ экстремума нет?

[provincialka]

Неправы, причем два раза.

[AlterEgo]

Могли бы вы вкратце расписать своё решение, а то видимо чего то недопонимаю.
Буду очень благодарен.

[provincialka]

Что касается задачи с двумя ограничениями. Можно сделать так: рассмотрим систему трех уравнений как линейную систему относительно неизвестных $(1,\lambda_1,\lambda_2)$. Они, как мы видим, не все равны 0. Поэтому определитель системы равен 0. Там получается два варианта условий.
Впрочем, можно и не мудрить Главное, не выражать $x,y,z$ через лямбды а, наоборот, исключать их.

-- 08.04.2014, 00:05 --

AlterEgo, особо внимательно я не смотрела. Но в первом задании у меня получилось две стационарных точки. А при проверке на экстремум не забудьте, что $dx,dy,dz$ зависимы.

-- 08.04.2014, 00:57 --

Во втором задании проверьте условие. Попробуете решить систему из наложенных на переменные ограничений.

[AlterEgo]

provincialka
По первому заданию: из первой частной производной по $y$ открывается значение $\lambda$, мы используем это и получаем, что $x = 1, z = 1,$ из ур-я содержащего условие получаем $y = 0$, откуда взять вторую точку?
По второму: если вы про корректность условия задания, то я ничего конкретнее того, что задание точно правильно переписано с распечатанного листа с заданием, сказать не могу. У меня получилось, поиграв со значениями, получить значения $\lambda_1$ и $\lambda_2$, но вот загвоздка, $\lambda_1 = -1$ не входит в ОДЗ (деление на $0$)

[provincialka]

AlterEgo в сообщении #847003 писал(а):

мы используем это и получаем, что $x = 1, z = 1,$

Так для $x$-то уравнение квадратное, два корня.

По второму там двум условиям удовлетворяет всего одна точка $(1,1,-1)$. Что же минимизировать?

[AlterEgo]

Скажите, у вас во втором получается выразить $\lambda_1, \lambda_2$? У меня они сокращаются, а как быть в этом случае слабо представляю.

В первом получил две стационарные точки: $M_1(1;0;1),M_2(-1,2,1)$
Полный второй дифференциал функции Лагранжа будет равен:
$d^2L=2xdx^2+dz^2$ (т.к. все частные производные и вторая производная по $y$ обнулились)
Как бы вы проверили здесь точки на экстремум? (У меня есть сомнения по поводу правильного использования мною критерия Сильвестра, в данной ситуации)

[provincialka]

А что? Второй дифференциал содержит два квадрата, третий не нужен, так как $dy$ можно выразить через $dx,dz$. Определенность/неопределенность формы видна, так сказать, невооружённым глазом.

-- 08.04.2014, 19:36 --

Что касается второй задачи, система просто несовместна. Если исключать лямбды, получается одно лишнее решение ($\lambda_1=-1$) и условие $x=y$. Оно приводит к несовместной системе на лямбды. Что и неудивительно. Вы пробовали описать область, заданную условиями?