Колмогоров-Фомин - не пойму чего-то

[tolstopuz]

zkutch писал(а):

"элементу из области определения ставится в соответствие элемент из области значений по определенному закону" – это жаргон для школьников или для понимающих профессионалов. Черт! В точном определении функции не "соответствует" что-то чему-то, а существуют множества с затребованными свойствами. Функция это тройка множеств. Вы умеете доказывать что тройка пустых множеств есть функция да или нет?

Естественно. Только вот фраза "Пусть $A$ - некоторое множество индексов $\alpha$ и пусть для каждого $\alpha$ задано некоторое непустое множество $M_{\alpha}$" означает в переводе с жаргона не произвольную функцию, а функцию индексирования семейства множеств, которая по определению сюръективна (хотя бы тот же Манкрз, страница 36). А у сюръекции с пустым множеством отправления и множество прибытия будет пустым.

Да, у Бурбаков требования сюръективности нет, но вкусы меняются, и за полстолетия стандарт изложения теории множеств слегка изменился. Но даже без сюръективности фраза "Пусть $A$ - некоторое множество индексов $\alpha$ и пусть для каждого $\alpha$ задано некоторое непустое множество $M_{\alpha}$" накладывает ограничение непустоты не на все элементы области прибытия индексирующей функции, а только на элементы ее образа. И при пустом $A$ вы можете брать абсолютно любую область прибытия - добавьте в нее пустое множество, не добавляйте в нее пустое множество, но, так как это пустое множество не является $M_{\alpha}$ ни при каком $\alpha$, это не изменит ничего, кроме разве что области прибытия радостно существующей в этом случае функции выбора $\varphi$, область отправления и график которой будут пустыми.

zkutch писал(а):

в случае когда было заявлено что построить функцию невозможно функция построена.

Ну да, если $A$ пустое, берем для $\varphi$ область отправления $A$, область прибытия по вкусу (хотите - пустую, хотите - объединение всех элементов области прибытия индексирующей функции) и пустой график. Что тут невозможного? Разве она не удовлетворяет формулировке?

zkutch писал(а):

В тексте Колмогорова-Фомина была поставлена задача: восполнить переход между вторым и четвертым предложением доказательства. Т.е. речь шла о третьем предложении. В моем тексте пробел восполнен. Переход со второго предложения на третье не вызывает уже сомнений. Вроде цель достигнута, но теперь вы выкопали вопрос про вторую половину четвертого предложения. Извольте: раз это подмножество натуральных чисел то существует минимум. Приписываем ему номер первый и выбрасываем из множества. Остается опять подмножество натуральных чисел и т.д. Любой элемент когда-нибудь окажется минимумом и будет выбран.

Ну наконец-то вы рассказали, что означают таинственные $n_1, n_2, \cdots в третьем предложении. Без их определения, естественно, ни о какой _последовательности_ индексов элементов B говорить было нельзя, только о множестве. Теперь, когда вы обосновали третье предложение, с четвертым, конечно же, проблем не будет.

Заметьте, что ваш способ эквивалентен стандартному. Естественно, существуют и другие способы нумерации, но это самый простой. И сама суть доказательства заключается именно в этом моменте - как только он доказан, обобщить его на бесконечные подмножества произвольных счетных множеств не составляет труда, что Колмогоров-Фомин и демонстрируют, обходя сложную часть стороной.

[zkutch]

функция построена
доказательство теоремы восполненно.

Слово "сложность" субъективно, но оба факта укладываются в рамки первого курса советского университетского образования.
В книге Колмогорова-Фомина в данном месте нет ляпов, нет казусов, нет "порочных кругов", доказательство восполняется тремя-четыремя достаточно простыми строчками безо всяких очевидностей.

Но есть ли мужество закрыть так тему форума, не прохаживаясь высокомерно по головам собеседников?

[tolstopuz]

zkutch писал(а):

функция построена
доказательство теоремы восполненно.

Someone сделал это еще 8 января.

zkutch писал(а):

Слово "сложность" субъективно, но оба факта укладываются в рамки первого курса советского университетского образования.
В книге Колмогорова-Фомина в данном месте нет ляпов, нет казусов, нет "порочных кругов", доказательство восполняется тремя-четыремя достаточно простыми строчками безо всяких очевидностей.

Тем не менее с первой попытки вы выдали, извините, ахинею про "если следовать авторскому тексту то они предлагают рассматривать ("пусть") сперва один ("первый") элемент В", потом в течение недели то отстаивали ее, то говорили, что не то имели в виду, и наконец выдали формулировку, совпадающую со стандартной. Этим вы неожиданно подтвердили мою мысль о туманности и неоднозначности доказательства в книге.

zkutch писал(а):

Но есть ли мужество закрыть так тему форума, не прохаживаясь высокомерно по головам собеседников?

Она и так фактически была закрыта - в течение 10 дней до вашего прихода там было только одно сообщение.

[zkutch]

"ахинея" была и остается нужной для отсечения случая пустоты множества В перед третьим предложением (я уже писал это), без нее нельзя.

мой приход дал результатом то что вы сознались что "порочный круг" – ложь

а в остальном Бог Судья …

[tolstopuz]

zkutch писал(а):

"ахинея" была и остается нужной для отсечения случая пустоты множества В перед третьим предложением (я уже писал это), без нее нельзя.

Перебором элементов доказывать, что конечное множество конечно? Не смешите.

zkutch писал(а):

мой приход дал результатом то что вы сознались что "порочный круг" – ложь

В обсуждаемом доказательстве не только пропущен ключевой момент, но даже нет намека на его необходимость, последовательность $n_1, n_2, \ldots$ просто достается из рукава, как сама собой разумеющаяся. Так как эта последовательность может быть получена применением самой (еще не доказанной к этому моменту) теоремы, я и назвал это вначале порочным кругом. Теперь я понял, что ключевой момент можно выделить в виде отдельной теоремы, говорящей только про подмножества $\mathbb{N}$, так что это не порочный круг, а просто дыра в доказательстве.

[zkutch]

ну просто беда – во-первых написано непустота а не конечность, во-вторых конечность и есть опеделенный "перебор", точно говоря, существование определенной биекции.
и в третьих – разве сейчас дыра не осталась? Дыры будут, наверное, всегда, как уже неоднакратно указывалось многими. Укажите теперь дыру в приведенном рассуждении этой самой отдельной теоремы, такую-же ключевую.

[tolstopuz]

zkutch писал(а):

ну просто беда – во-первых написано непустота а не конечность

У вас написано "пустота". Далее еще "Если второй элемент, отличный от первого, не существует то число элементов 1". И все эти рассуждения только для того, чтобы доказать, что для пустого, одноэлементного и так далее, то есть конечного B утверждение теоремы верно, то есть B конечно или счетно. Не считаете ли, что утверждение "если B конечно, то B конечно или счетно" не требует доказательства перебором элементов?

zkutch писал(а):

и в третьих – разве сейчас дыра не осталась? Дыры будут, наверное, всегда, как уже неоднакратно указывалось многими. Укажите теперь дыру в приведенном рассуждении этой самой отдельной теоремы, такую-же ключевую.

zkutch писал(а):

Извольте: раз это подмножество натуральных чисел то существует минимум. Приписываем ему номер первый и выбрасываем из множества. Остается опять подмножество натуральных чисел и т.д. Любой элемент когда-нибудь окажется минимумом и будет выбран.

А зачем? Здесь, хотя и неформально, изложена ключевая идея доказательства. Это тот самый необходимый "столбик", о котором говорил Someone. Без этого или похожего текста доказательство неполно. С ним - дело вкуса и привередливости, лично меня устраивает. Вон Бурбаки вообще доказывают через теорему Цермело

[zkutch]

у меня написана не "пустота" а " отсечения случая пустоты " что и есть непустота

Далее почему я должен доказывать предложение которое вы озвучили? ("если B конечно, то B конечно или счетно") Если хотите мое мнение то это вообще тавтологичное предложение, основанное на законе присоеденения дизъюнкции. И при чем оно?

Мой столбик ("ахинея") состоял всего лишь в том, что после второго предложения, перед третьим я посчитал нужным вставить сперва рассмотрение пустого, потом непустого конечного, потом непустого не конечного множества. Только затем включается третье предложение или приведенный его полный аналог.

" А зачем? " – зачем мы вообще разбираем дыры и расставляем столбики?
Вас-то удовлетворил данный этап критичности, но главное-то осталось – глубокое понятие натурального числа. Вся красота науки в умении видеть глубже и больше на каждом этапе. Тема форума возникла, потому что вы хотели быть критичным, но, например, можно заметить, что в приведенном рассуждении просто названо имя, но реально решения как не было, так и нет.

А вы сможете быть более критичным и задать следующий ключевой вопрос?

Естественно продолжать углублять дело хозяйское, как говорится, на нет и суда нет

[tolstopuz]

zkutch писал(а):

Мой столбик ("ахинея") состоял всего лишь в том, что после второго предложения, перед третьим я посчитал нужным вставить сперва рассмотрение пустого, потом непустого конечного, потом непустого не конечного множества. Только затем включается третье предложение или приведенный его полный аналог.

Вы не забыли утверждение теоремы? Нужно было доказать, что B конечно или счетно. Вы рассматриваете три случая:
1. B пусто. Я надеюсь, в этом случае то, что B конечно или счетно, можно доказать без перебора элементов?
2. B непусто, но конечно. Я надеюсь, в этом случае то, что B конечно или счетно, тоже можно доказать без перебора элементов? Например, как вы выразились, основываясь "на законе присоеденения дизъюнкции".
2. B бесконечно. Тогда работает "приведенный полный аналог".

То есть ваш абзац, содержащий слова "("пусть") сперва один ("первый") элемент В", не нужен вообще, потому что он доказывает тавтологию: "если B пусто или непусто, но конечно, то B конечно или счетно". Вместо этого достаточно сказать:

Если B конечно, то утверждение теоремы верно автоматически. В противном случае <рассуждение о последовательном выборе минимального элемента и доказательство сюръективности полученного отображения>.

[zkutch]

можно и так, можно длиннее, можно короче. Тут мы уходим из области истины и лжи в область вкуса.
мне приходится часто уезжать так, что нет возможности контактировать с компом, поэтому, если в будущем вы захотите обсудить глубже, оставьте сообщение и мне придет мыло с форума с которого я и узнаю это.