Трансцендентно

[Terraniux]

Всем доброго вечера!

Пусть число $\alpha,\beta$ - трансцендентны. Может ли число $\alpha ^ \beta$ быть алгебраическим?

Какие здесь идеи могут быть? Подскажите, пожалуйста, только идею!

Может быть, надо как-то использовать то, что всякое число вида $\sum\limits_{n=1}^\infty {\alpha_n}$ при быстро убывающим $\alpha _n $ является трансцендентным и использовать меру иррациональности алг. чисел (типа, плохо будет приближаться рациональными дробями - алгебраическое)?

[ex-math]

$e^{\ln2}$?

[Terraniux]

ex-math в сообщении #846433 писал(а):

$e^{\ln2}$?

Гениально!
Остается только доказать вопрос трансцендентности для $\ln k$ при натуральных $k$.

(Оффтоп)

Попробую.

Предположим, $\alpha = \ln k \in \overline{\mathbb{Q}}$. Тогда $\exists P(x)=a(x-x_1)\ldots(x-x_n)$, т.ч. $ P(\alpha)=0$ и $e^\alpha = k$.

[mihailm]

Terraniux в сообщении #846435 писал(а):

...Остается только доказать вопрос трансцендентности для $\ln k$ при натуральных $k$...

Ну и для полноты картины $e$

[Terraniux]

mihailm в сообщении #846489 писал(а):

Terraniux в сообщении #846435 писал(а):

...Остается только доказать вопрос трансцендентности для $\ln k$ при натуральных $k$...

Ну и для полноты картины $e$

Кстати, тоже нетривиально.

[patzer2097]

Terraniux в сообщении #846429 писал(а):

Пусть число $\alpha,\beta$ - трансцендентны. Может ли число $\alpha ^ \beta$ быть алгебраическим?

ну если и $e$ "не считается" трансцедентным, могу предложить такое рассуждение.

множество алгебраических чисел счетно, поэтому множество тех $x>0$, для которых $x$ алгебраическое или $\log_x 2$ алгебраическое, не более чем счетно. теперь берем одно из оставшихся $x$ и получаем $x^{\log_x 2}=2$.

[Terraniux]

patzer2097 в сообщении #846542 писал(а):

Terraniux в сообщении #846429 писал(а):

Пусть число $\alpha,\beta$ - трансцендентны. Может ли число $\alpha ^ \beta$ быть алгебраическим?

ну если и $e$ "не считается" трансцедентным, могу предложить такое рассуждение.

множество алгебраических чисел счетно, поэтому множество тех $x>0$, для которых $x$ алгебраическое или $\log_x 2$ алгебраическое, не более чем счетно. теперь берем одно из оставшихся $x$ и получаем $x^{\log_x 2}=2$.

Да, хорошее рассуждение .

[ex-math]

Terraniux
Я отвечал на тот вопрос, который Вы сформулировали, пользуясь известными фактами трансцендентности $e$ и $\ln2$. Если Вам надо было ab ovo, это стоило отметить в старт-посте.