Нужны ли нам новые числа? (Иные поля чисел)

[STilda]

AD писал(а):

Не понимаю, почему вы считаете, что я так считаю?

Я так проинтерпретировал ваш ответ:

AD писал(а):

STilda писал(а):

И, пока что бездоказательно, утверждаю, что есть законы в одной системе Х, которые невозможно выразить на языке другой системы У.

С этим я соглашусь даже без доказательства . Только к системам в этом примере - к системам исчисления - это заведомо не относится, потому что они взаимно одна через другую выражаются.

AD писал(а):

Получится. Почему бы и нет? .... Да, и уточнение: операции, я так понимаю, вы вводите не на $\{+1,-1,+i,-i,0\}$ а все-таки на $\mathbb{C}$ наверное, да?

Пусть будет на $\mathbb{C}$, но у меня не получается и на $\{+1,-1,+i,-i,0\}$. И даже с двумя операциями $+_{C1},+_{C2}$ проблемы.
Вот, например, рассмотрим выражение $i+_{C1}(-i)+_{C2}(-1)$. Чему оно равно? Проверяем, что порядок выполнения операций имеет значение: $(i+_{C1}(-i))+_{C2}(-1)=-1$, но $i+_{C1}((-i)+_{C2}(-1))=i$. Допустим, сильнее операция $+_{C2}$, и выполняется первой. Но тогда получается, что:
1. невозможно посчитать, чему равно $i+_{C1}(-i)+_{C2}(+1)$
2. все таки не работает закон дистрибутивности, так как
$-1=0+_{C2}(-1)=(i+_{C1}(-i))+_{C2}(-1) \ne (i+_{C2}(-1))+_{C1}((-i)+_{C2}(-1))=(i+_{C2}(-1))+0=i+_{C2}(-1)$
3. Такое установление приоритета приводит к последовательному оперированию, то в системе С1 то в системе С2, и никак не в двух одновременно.

AD писал(а):

...но ясно, что если система Y настолько тупая, что на ее языке вообще ничего нельзя выразить, то любая строго менее тупая система Х подойдет.

Не так уж и очевидно, ведь мы можем на языке системы Y делать построения и вводить новые понятия, новые функции, новые операции и т.д., и, таким образом, "эмулировать" "умные" принципы системы X. (Так же, как комплексными числами удается эмулировать законы Системы1) А речь идет про невозможность даже такой эмуляции.

Добавлено спустя 2 минуты 52 секунды:

Вообще, я думаю, что в математике появились векторы матрицы и все иные построения только для такой вот эмуляции других систем средствами извесных систем чисел.

[AD]

STilda писал(а):

ведь мы можем на языке системы Y делать построения и вводить новые понятия, новые функции, новые операции и т.д., и, таким образом, "эмулировать" "умные" принципы системы X.

Еще раз повторяю свою мысль. Рассматривается "тривиальная" система Y, в ней нет вообще слов. Поэтому никакое понятие, функцию, операцию вы в ней описать не сможете.

Вообще, я тут говорю все время совершенно глупые и тривиальные вещи.

STilda писал(а):

Вообще, я думаю, что в математике появились векторы матрицы и все иные построения только для такой вот эмуляции других систем средствами извесных систем чисел.

Ну, в общем, да, наверное. Был такой Декарт, слышали?, вот он и придумал оцифровать евклидову геометрию, и дальше с него все и покатилось. Слово "известных" меня немного пугает.
__________________________
А теперь про системы.

STilda писал(а):

Допустим, сильнее операция $+_{C2}$, и выполняется первой.

Да расставляйте скобки как хотите ... Приоритет операций нужен только для того, чтобы скобок меньше писать.

STilda писал(а):

все таки не работает закон дистрибутивности

А кто сказал, что одно из двух сложений будет дистрибутивным относительно другого??? Это ж надо так с дубу рухнуть, чтобы такое в голову пришло.

STilda писал(а):

Такое установление приоритета приводит к последовательному оперированию, то в системе С1 то в системе С2, и никак не в двух одновременно.

А вы что хотели? По-моему, это общий факт, ведь каждое действие - это либо операция из С1, либо из С2 - а как тут может быть что-то одновременно?

Еще раз повторю. Операции ввести вы можете, это никто не запрещал. Но ожидать от них каких-то хороших свойств я бы не стал. Ведь вот вы ввели операции - и больше у вас выбора уже нету. Все, модель полностью описана. Можно теперь лишь постфактум говорить о том, что такое-то свойство выполняется, а такое-то не вышло.

[STilda]

Напомню, речь идет про понятие "несовместимости" двух систем - С1 и С2.

AD писал(а):

Операции ввести вы можете, это никто не запрещал.

Операции по щучьему велению вводить нельзя. Или вы считаете, что можно всегда, любой набор операций, на любом множестве задать и без проблем? И чтобы они друг другу не противоречили при этом?

AD писал(а):

Ведь вот вы ввели операции - и больше у вас выбора уже нету. Все, модель полностью описана. Можно теперь лишь постфактум говорить о том, что такое-то свойство выполняется, а такое-то не вышло.

Я показал, что нельзя ввести две операции сложения одновременно. Пункт 1 был основной, вы его проигнорировали.

AD писал(а):

По-моему, это общий факт, ведь каждое действие - это либо операция из С1, либо из С2 - а как тут может быть что-то одновременно?

Не каждое действие. Умножение из С1 и сложение из С1 спокойно уживаются в одной системе. А вот добавить еще $+_{C2}$ к ним уже нельзя.

Добавлено спустя 1 минуту 39 секунд:

AD писал(а):

Рассматривается "тривиальная" система Y, в ней нет вообще слов. Поэтому никакое понятие, функцию, операцию вы в ней описать не сможете.

система, в которой невозможно сделать никакое построение никого не интересует. и вообще системой называться не имеет права.

[AD]

STilda писал(а):

Пункт 1 был основной, вы его проигнорировали.

STilda писал(а):

Проверяем, что порядок выполнения операций имеет значение: $(i+_{C1}(-i))+_{C2}(-1)=-1$, но $i+_{C1}((-i)+_{C2}(-1))=i$. Допустим, сильнее операция $+_{C2}$, и выполняется первой. Но тогда получается, что:
1. невозможно посчитать, чему равно $i+_{C1}(-i)+_{C2}(+1)$

Ну конечно посчитать нельзя, потому что вы скобки не расставили. А кто вам сказал, что будет такая ассоциативность?? Это как будто вы говорите, что $(a+b)\cdot c=a+(b\cdot c)$. А все остальное вообще непонятно.

Добавлено спустя 19 минут 18 секунд:

STilda писал(а):

система, в которой невозможно сделать никакое построение никого не интересует. и вообще системой называться не имеет права.

Ну я вам привел пример, а что он вам не понравился - ваше дело. Ищите промежуточные ситуации.

Добавлено спустя 5 минут 4 секунды:

Знаете что, перечитайте-ка еще раз определение операции, прежде чем писать. Из него следует, что операции не могут друг другу противоречить. Противоречие возникает из-за того, что вы предполагаете некие дополнительные свойства. Впрочем, я это уже три раза сказал.

[STilda]

AD писал(а):

Ну конечно посчитать нельзя, потому что вы скобки не расставили

Я задал приоритетность. Других скобок там нету.

AD писал(а):

перечитайте-ка еще раз определение операции, прежде чем писать. Из него следует, что операции не могут друг другу противоречить

Ну тут вы правы. Исходя из определения не могут. Но. Например поле это нечто больше чем просто два отображения стоящих рядом. Заданы их взаимоотношения и именно взаимоотношения дают ценность понятию поля.

В моем случае, да, если просто "добавить" к С1 отображение $+_{C2}$ противоречия не будет. Но если пытаться установить взаимоотношения между операциями С1 и $+_{C2}$ придем к объекту типа $i+_{C1}(-i)+_{C2}(+1)$. С которым непонятно что делать. Сказать, что он равен некоторому числу из этой системы, я не решаюсь.

[AD]

STilda писал(а):

Я задал приоритетность. Других скобок там нету.

Что значит "задали приоритетность"? Задали порядок действий? это и есть скобки, только которые можно не писать. Или при этом подразумевается еще что-то, типа дистрибутивность старшей операции по младшей? Это скорее всего неверно, что вы и увидели.

STilda писал(а):

поле это нечто больше чем просто два отображения стоящих рядом

Операции у вас уже полностью заданы. Поэтому будут они просто стоять рядом или как-то взаимодействовать - это их дело, и не в ваших силах это исправить. Можно, наверное, и так сказать: каждое конкретное поле - это два отображения, стоящих рядом; их взаимосвязь есть чистая случайность.

Возможно, удастся увидеть какие-то другие взаимоотношения, нестандартные. Но "пытаться установить" насильно не получится - все уже схвачено.

Короче, попробуйте понять это так.

Обозначим
$f_1(x,y)=x+_{C1}y$,
$f_2(x,y)=x+_{C2}y$,
$g_1(x,y)=x\cdot_{C1}y$,
$g_2(x,y)=x\cdot_{C2}y$.
Фактически, по определению бинарная операция - это лишь функция двух аргументов. Просто для двух аргументов удобна запись типа $f(x,y)=x*y$, но вот она вас запутала.
Теперь выбор расстановки скобок в вашем выражении $i+_{C1}(-i)+_{C2}(+1)$ означает выбор между совершенно разными выражениями $f_2(f_1(i,-i),1)$ и $f_1(i,f_2(-i,1))$.

И еще фраза: проблема ваша возникла из-за того, что ваше выражение не является формулой в вашей структуре. Что такое формула - надо объяснять?

[STilda]

AD писал(а):

STilda писал(а):

Я задал приоритетность. Других скобок там нету.

Что значит "задали приоритетность"? Задали порядок действий? это и есть скобки, только которые можно не писать. Или при этом подразумевается еще что-то, типа дистрибутивность старшей операции по младшей?

Да, "задал приоритетность" означает "задал порядок действий". Никакая дистрибутивность при этом не подразумевается.

AD писал(а):

Операции у вас уже полностью заданы. Поэтому будут они просто стоять рядом или как-то взаимодействовать - это их дело, и не в ваших силах это исправить.

Да, я знаю, про взаимодействие можете мне больше не напоминать. Я начал сомневаться в том, что операции уже заданы.

AD писал(а):

Просто для двух аргументов удобна запись типа $f(x,y)=x*y$, но вот она вас запутала.

Не сказал бы, что она меня запутала )).

AD писал(а):

Теперь выбор расстановки скобок в вашем выражении $i+_{C1}(-i)+_{C2}(+1)$ означает выбор между совершенно разными выражениями $f_2(f_1(i,-i),1)$ и $f_1(i,f_2(-i,1))$.

Да, согласен. Ничего другого и не подразумевал никогда. Но так как у этого выражения нет значения, то это больше похоже на незаданную тернарную операцию, чем на две заданные бинарные.

AD писал(а):

И еще фраза: проблема ваша возникла из-за того, что ваше выражение не является формулой в вашей структуре. Что такое формула - надо объяснять?

Это, наверно, ближе всего к сути моей проблемы. Объяснять не надо. Не является формулой из-за чего? Из-за того, что на самом деле операции недозаданы? Тоесть, чтобы задать полностью, нужно еще добавить операции над числами вида $n A+_{C1}m B, n A+_{C2}m B$, где $A,B \in \{i,-1,-i,+1,0\}$? В этом по вашему проблема? Но тогда, по сути, получится, что мы задали одну 4-х арную операцию $+$.

Добавлено спустя 1 минуту 53 секунды:

Тоесть мы будем работать в пространстве $\mathbb{C}^2$ а не в $\mathbb{C}$.

[AD]

STilda писал(а):

у этого выражения нет значения

У обоих этих выражений значения есть. Они равны $f_2(f_1(i,-i),1)$ и $f_1(i,f_2(-i,1))$ соответственно. Причем вы, расставив приоритеты, фактически заявили, что имелось ввиду именно второе из них. Значит, значение этого вашего выражения $i+_{C1}(-i)+_{C2}(+1) = i+_{C1}((-i)+_{C2}(+1))$ равно $i$ (доверяя вашим вычислениям). И почему вы решили, что "у него нет значения"?

STilda писал(а):

Объяснять не надо. Не является формулой из-за чего?

Эти два предложения очевидным образом противоречат друг другу ... к сожалению, сейчас не успею объяснить. Выражение не является формулой, потому что оно написано не по правилам, описывающем все формулы над вашей структурой.

Добавлено спустя 2 минуты 55 секунд:

STilda писал(а):

Тоесть, чтобы задать полностью, нужно еще добавить операции над числами вида $n A+_{C1}m B, n A+_{C2}m B$, где $A,B \in \{i,-1,-i,+1,0\}$?

Операции полностью дозаданы. Вы уже ничего не можете изменить, доопределить, потребовать, итп. В частности, операции над вышеупомянутыми числами тоже уже заданы.

[STilda]

AD писал(а):

STilda писал(а):

у этого выражения нет значения

У обоих этих выражений значения есть. Они равны $f_2(f_1(i,-i),1)$ и $f_1(i,f_2(-i,1))$ соответственно. Причем вы, расставив приоритеты, фактически заявили, что имелось ввиду именно второе из них. Значит, значение этого вашего выражения $i+_{C1}(-i)+_{C2}(+1) = i+_{C1}((-i)+_{C2}(+1))$ равно $i$ (доверяя вашим вычислениям). И почему вы решили, что "у него нет значения"?

AD писал(а):

STilda писал(а):

Тоесть, чтобы задать полностью, нужно еще добавить операции над числами вида $n A+_{C1}m B, n A+_{C2}m B$, где $A,B \in \{i,-1,-i,+1,0\}$?

Операции полностью дозаданы. Вы уже ничего не можете изменить, доопределить, потребовать, итп. В частности, операции над вышеупомянутыми числами тоже уже заданы.

AD, прошу обратить внимание на то, что (согласно моим вычислениям) $i+_{C1}((-i)+_{C2}(-1))$ равно $i$, но никак не $i+_{C1}((-i)+_{C2}(+1))$, и именно поэтому я и переживаю!
Да, имелось ввиду именно второе $f_1(i,f_2(-i,1))$. Но, чтобы его подсчитать, все же, наверное, придется задать операции $+_{C1},+_{C2}$ не только на $\{i,-1,-i,+1,0\}$, а и на $\{1+_{C1}(-i),-1+_{C1}i,-1+_{C1}(-i),1+_{C1}i\}$, и на $\{-1+_{C2}1,-1+_{C2}i,1+_{C2}(-i),i+_{C2}(-i)\}$

AD писал(а):

Выражение не является формулой, потому что оно написано не по правилам, описывающем все формулы над вашей структурой.

Вот это, если можна, более конкретно, ибо мне не очевидно.

===========================================
Напомню, что для + из С1 выполняется $(-1)+_{C1}(+1)=(-i)+_{C1}(i)=0$, в то время, как для + из С2 выполняется $i+_{C2}(+1)=-1+_{C2}(-i)=0$

[AD]

STilda писал(а):

$i+_{C1}((-i)+_{C2}(-1))$ равно $i$, но никак не $i+_{C1}((-i)+_{C2}(+1))$

А с какого перепугу эти два совершенно разных выражения должны быть равны?

STilda писал(а):

придется задать операции $+_{C1},+_{C2}$ не только на (...), а и на (...)

Они там уже заданы. Это было до вас, в 14 веке. Кстати, заметьте, что $+_{C1}$ не является операцией на множестве $M=\{i,-1,-i,+1,0\}$, потому что, скажем, $1+_{C1}1=2\notin M$. Все операции заданы глобально на всем $\mathbb{C}$, поэтому ничего определять уже не надо. Понятно или еще раз повторить?

STilda писал(а):

Вот это, если можна, более конкретно, ибо мне не очевидно.

Ну вот типичное определение понятия "формула", пригодное, скажем, для универсальных алгебр. Пусть задано множество $M$ с системой операций $\Omega=\Bigl\{f_\lambda(x_1,\,\dots,\,x_{n_\lambda}):M^{n_\lambda}\to M\Bigr\}_{\lambda\in\Lambda}$. Также рассмотрим вспомогательное множество $X=\{x_i\}_{i\in\mathbb{N}}$ - "алфавит свободных переменных", и еще множество, скажем, $S$, содержащее вспомогательные символы (скобочки, запятые, итп). Предполагаем, что множества $M, \Omega, X, S$ попарно непересекаются. Формулами будем называть конечные последовательности символов из алфавита $\mathcal{A}=M\sqcup\Omega\sqcup X\sqcup S$, которые можно построить индуктивно по таким правилам:
1. Последовательность символов, состоящая из одного символа, принадлежащего $X$ или $M$, является формулой.
2. Если $f_\lambda\in\Omega$, и $\omega_1,\,\dots,\,\omega_{n_\lambda}$ - формулы, то формулой также является $f_\lambda(\omega_1,\,\dots,\,\omega_{n_\lambda})$.
3. Никакие другие последовательности символов формулами не являются.

В вашей структуре формулами будут, например, такие выражения:
$0$
$1$
$2-7i$
$x$
$\Bigl(\Bigr.$это всё по первому пункту; заметьте, что "минус" в третьей формуле не является операцией, а лишь есть форма записи элемента из $\mathbb{C}$;$\Bigl.\Bigr)$
$x+_{C1}1$
$((2+i)+_{C2}(7-3.5i))\cdot_{C1}x$
$\Bigl(\Bigr.$к сожалению, форма записи функции $f_1(x,y)$ в виде $x+_{C1}y$ сильно путает, поэтому возникает неформальное применение скобочек: результат применения по пункту 2 бинарной операции $+_{C1}$ к двум формулам $w_1$ и $w_2$ должен выглядеть по идее вот так: $(w_1)+_{C1}(w_2)$. Этим будет гарантировано запоминание формулой порядка действий. Однако глупые скобочки всегда выкидываются. Тем не менее, надо понять, что выражение $x+_{C1}y+_{C2}z$ формулой не является, потому что скобки ставить надо.$\Bigl.\Bigr)$

[STilda]

AD, к сожалению я вас понял . И вообще все понял. Лучше всего разницу между тем, что вы предлагаете, и тем что, я имел ввиду, показывает выражение $((2+i)+_{C2}(7-3.5i))\cdot_{C1}x$. В таком варианте мы имеем три плюса $\{+,+_{C1},+_{C2}\}$. Понятно, что первый плюс используется не как операционный символ, а как другая запись комплексного числа - пары $(x,y)$. А потом на таких парах задаем кучу операций сложения как отображений $+_w:\{(x,y)\}^2 \to \{(x,y)\}$. Ясно, что с таким подходом странно слышать про противоречие $+_{C1}$ и $+_{C2}$. Но с таким подходом не получить тех свойств от $+_{C1}$ и $+_{C2}$, которые я хотел иметь в модели. Мне нужны числа, вида $x+_{C1}iy$ и $x+_{C2}iy$, и не нужно $x+iy$. Тоесть кроме множества пар $\{(x,y)\}$, обозначающих $x+_{C1}iy$ еще нужны пары $[x,y]$, обозначающие $x+_{C2}iy$. А это уже никак не комплексные числа, а больше смахивает на кватернионы.
Просто получилось, что в математике взаимодействие елементов разделилось на две части, одна - отвечает за структуру этих элементов (для комплексных чисел ввели пары), вторая - за отображение (класическое определение операции). А я их слил в одно понятие "взаимодействие".

Добавлено спустя 5 минут 53 секунды:

А кто-то встречал интересные применения алгебр групп симметрии?

[Brukvalub]

STilda писал(а):

А кто-то встречал интересные применения алгебр групп симметрии?

Группы симметрий не образуют алгебр.

[STilda]

почему?

[Brukvalub]

Потому, что не удовлетворяют определению алгебры.

[STilda]

я имею ввиду алгебры над группами симметрий.