сколько дробно-линейных функций существует над полем Галуа

[ist12]

Сколько дробно-линейных функций существует над полем Галуа gf(p)={0,1,2...p-1},где p - простое число?[/b]

[bot]

Посмотрите отдельно, сколько есть различных линейных и сколько нелинейных.
Наводящий вопрос: как можно преобразовать нелинейную?

Добавлено спустя 4 минуты 34 секунды:

Тут только есть один нюанс - будем мы различать, к примеру $f(x)=\frac{x}{x}$ и $g(x)=1$?

[ist12]

bot писал(а):

Посмотрите отдельно, сколько есть различных линейных и сколько нелинейных.
Наводящий вопрос: как можно преобразовать нелинейную?

Добавлено спустя 4 минуты 34 секунды:

Тут только есть один нюанс - будем мы различать, к примеру $f(x)=\frac{x}{x}$ и $g(x)=1$?

Имеются в виду функции вида y=(ax+b)/(cx+d) , где ad — bc≠0 и с ≠ 0

[bot]

Отпали линейные и отпал нюанс, который давал неоднозначность постановки.

bot писал(а):

Наводящий вопрос: как можно преобразовать нелинейную?

Какие теперь проблемы?

[ist12]

Проблема вот в чем: считать ли различными случаи когда дробь будет сократимой и как учесть их число?

[bot]

Направление мысли верное. Нужно лишь уточнить - на что сократимое, на константу или нет. Ответив на это, без труда определите нужное количество.
Не забудьте, что вопрос был не о формальных дробях, а о функциях.

[ist12]

Подскажите, пожалуйста,как преобразовать дробно-линейную функцию f(x)=(ax+b)/(cx+d) к виду f(x)=a/(x-b)+c? (a≠0)

[Brukvalub]

Разделить числитель на знаменатель "уголком" с остатком.

[ist12]

Как можно подсчитать количество случаев, когда выражение ad-bc равно нулю, и ,соответственно, не равно нулю?
a,b,c,d, принимают значения от 0 до p-1, где p – простое число. И можно ли вообще это сделать?

Добавлено спустя 10 минут 32 секунды:

Точнее, a,b,c,d, принимают значения {0,1...p-1}

[незваный гость]

Первая мысль, которая приходи в голову: легко оценить сверху, используя количество случаев, когда $p | (a d - b c)$. Вторая — рассмотреть квадратные матрицы (тогда условие равенства — это условие ранга матрицы меньшего 2).

[незваный гость]

Численные эксперименты оказывают, что растет со скоростью $p^\alpha$, гда $2 \leq \alpha < 8/3$. Но это эксперименты.

[Gordmit]

Я бы решал так. Это количество решений уравнения $ad=bc$ при указанных значениях переменных. Если $ad=bc=0$, то получается $4(p-1)^2+1$ решений.

Остальные найдем следующим образом: найдем количество решений $ad=bc=n$ для каждого $1\leqslant n\leqslant (p-1)^2$, а затем просуммируем. При фиксированном $n$ число решений будет равно $4\tau^2(n)$, где $\tau(n)$ - число делителей $n$, если $n$ - не полный квадрат; а если $n=k^2$, то из этого числа надо вычесть $3$ лишних решения (т.к. мы посчитали $k\cdot k = k\cdot k$ четыре раза, а оно дает всего одно решение). Таким образом, искомое число равно

$$K=4\sum_{n=1}^{(p-1)^2} \tau^2(n) - 3(p-1) + 4(p-1)^2+1.$$

Это если точно нужно посчитать. А если асимптотически, то последние два слагаемых малы по сравнению с первым, а для первого есть асимптотика (взято из Handbook of Number Theory):

$$\sum_{n\leqslant x} \tau^2(n)=\frac{1}{\pi^2}x\ln^3 x+O(x\ln^2 x).$$

Так что получаем при больших $p$

$$K\sim \frac{4}{\pi^2}(p-1)^2\bigl(\ln(p-1)^2\bigr)^3\sim \frac{32}{\pi^2}p^2\ln^3 p.$$

[Yuri1111]

Gordmit писал(а):

Я бы решал так. Это количество решений уравнения $ad=bc$ при указанных значениях переменных. Если $ad=bc=0$, то получается $4(p-1)^2+1$ решений.

Вообще то, количество решений $ad=bc=0$ при $0\leqslant a,b,c,d \leqslant p-1$ есть $(2p-1)^2$.
Кроме того , количество решений $ad=n$ есть $\tau(n)$ БЕЗ ограничения $0\leqslant a,d \leqslant p-1$; а с учетом этого ограничения, решений будт меньше (или равно), так как надо отбросить решения где один из множителей больше или равен $p$.
Так что надо еще поработать...

[ist12]

Как определить количество случаев, в которых дробь (a-b)/(c-d) будет сократимой?
a,b,c,d={0,1,2….p}

[незваный гость]

А что Вас интересует? Асимптотика? точное решение?

В конце концов, к чему вопрос? Это какое-то учебное задание? Или Вы пытаетесь понять для себя? Или это часть какой-то большей задачи?

И что Вы пытались делать (например, чтобы нам не повторять Ваши неудачи)? Пытались ли Вы применить идеи, поднятые в Вашей же теме?

Между прочим, подсказка: считать нужно, когда она будет несократимой.