2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 сколько дробно-линейных функций существует над полем Галуа
Сообщение08.10.2007, 17:28 


08/10/07
9
Сколько дробно-линейных функций существует над полем Галуа gf(p)={0,1,2...p-1},где p - простое число?[/b]

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение09.10.2007, 08:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5904
Новосибирск
Посмотрите отдельно, сколько есть различных линейных и сколько нелинейных.
Наводящий вопрос: как можно преобразовать нелинейную?

Добавлено спустя 4 минуты 34 секунды:

Тут только есть один нюанс - будем мы различать, к примеру $f(x)=\frac{x}{x}$ и $g(x)=1$?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение09.10.2007, 17:51 


08/10/07
9
bot писал(а):
Посмотрите отдельно, сколько есть различных линейных и сколько нелинейных.
Наводящий вопрос: как можно преобразовать нелинейную?

Добавлено спустя 4 минуты 34 секунды:

Тут только есть один нюанс - будем мы различать, к примеру $f(x)=\frac{x}{x}$ и $g(x)=1$?


Имеются в виду функции вида y=(ax+b)/(cx+d) , где ad — bc≠0 и с ≠ 0

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.10.2007, 05:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5904
Новосибирск
Отпали линейные и отпал нюанс, который давал неоднозначность постановки.
bot писал(а):
Наводящий вопрос: как можно преобразовать нелинейную?

Какие теперь проблемы?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.10.2007, 10:12 


08/10/07
9
Проблема вот в чем: считать ли различными случаи когда дробь будет сократимой и как учесть их число?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.10.2007, 10:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5904
Новосибирск
Направление мысли верное. Нужно лишь уточнить - на что сократимое, на константу или нет. Ответив на это, без труда определите нужное количество.
Не забудьте, что вопрос был не о формальных дробях, а о функциях.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.10.2007, 18:24 


08/10/07
9
Подскажите, пожалуйста,как преобразовать дробно-линейную функцию f(x)=(ax+b)/(cx+d) к виду f(x)=a/(x-b)+c? (a≠0)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.10.2007, 18:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Разделить числитель на знаменатель "уголком" с остатком. :D

 Профиль  
                  
 
 Комбинаторика
Сообщение01.11.2007, 08:52 


08/10/07
9
Как можно подсчитать количество случаев, когда выражение ad-bc равно нулю, и ,соответственно, не равно нулю?
a,b,c,d, принимают значения от 0 до p-1, где p – простое число. И можно ли вообще это сделать?

Добавлено спустя 10 минут 32 секунды:

Точнее, a,b,c,d, принимают значения {0,1...p-1}

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение01.11.2007, 19:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
Первая мысль, которая приходи в голову: легко оценить сверху, используя количество случаев, когда $p | (a d - b c)$. Вторая — рассмотреть квадратные матрицы (тогда условие равенства — это условие ранга матрицы меньшего 2).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.11.2007, 01:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
Численные эксперименты оказывают, что растет со скоростью $p^\alpha$, гда $2 \leq \alpha < 8/3$. Но это эксперименты.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.11.2007, 22:50 
Заслуженный участник


19/06/05
486
МГУ
Я бы решал так. Это количество решений уравнения $ad=bc$ при указанных значениях переменных. Если $ad=bc=0$, то получается $4(p-1)^2+1$ решений.

Остальные найдем следующим образом: найдем количество решений $ad=bc=n$ для каждого $1\leqslant n\leqslant (p-1)^2$, а затем просуммируем. При фиксированном $n$ число решений будет равно $4\tau^2(n)$, где $\tau(n)$ - число делителей $n$, если $n$ - не полный квадрат; а если $n=k^2$, то из этого числа надо вычесть $3$ лишних решения (т.к. мы посчитали $k\cdot k = k\cdot k$ четыре раза, а оно дает всего одно решение). Таким образом, искомое число равно

$$K=4\sum_{n=1}^{(p-1)^2} \tau^2(n) - 3(p-1) + 4(p-1)^2+1.$$

Это если точно нужно посчитать. А если асимптотически, то последние два слагаемых малы по сравнению с первым, а для первого есть асимптотика (взято из Handbook of Number Theory):
$$\sum_{n\leqslant x} \tau^2(n)=\frac{1}{\pi^2}x\ln^3 x+O(x\ln^2 x).$$

Так что получаем при больших $p$
$$K\sim \frac{4}{\pi^2}(p-1)^2\bigl(\ln(p-1)^2\bigr)^3\sim \frac{32}{\pi^2}p^2\ln^3 p.$$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение03.11.2007, 22:30 


22/09/07
6
Gordmit писал(а):
Я бы решал так. Это количество решений уравнения $ad=bc$ при указанных значениях переменных. Если $ad=bc=0$, то получается $4(p-1)^2+1$ решений.


Вообще то, количество решений $ad=bc=0$ при $0\leqslant a,b,c,d \leqslant p-1$ есть $(2p-1)^2$.
Кроме того , количество решений $ad=n$ есть $\tau(n)$ БЕЗ ограничения $0\leqslant a,d \leqslant p-1$; а с учетом этого ограничения, решений будт меньше (или равно), так как надо отбросить решения где один из множителей больше или равен $p$.
Так что надо еще поработать... :wink:

 Профиль  
                  
 
 сократимые дроби
Сообщение04.11.2007, 14:21 


08/10/07
9
Как определить количество случаев, в которых дробь (a-b)/(c-d) будет сократимой?
a,b,c,d={0,1,2….p}

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение04.11.2007, 18:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
А что Вас интересует? Асимптотика? точное решение?

В конце концов, к чему вопрос? Это какое-то учебное задание? Или Вы пытаетесь понять для себя? Или это часть какой-то большей задачи?

И что Вы пытались делать (например, чтобы нам не повторять Ваши неудачи)? Пытались ли Вы применить идеи, поднятые в Вашей же теме?

Между прочим, подсказка: считать нужно, когда она будет несократимой.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 17 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group