сколько дробно-линейных функций существует над полем Галуа

[Yuri1111]

Набирал целый час - пропал интернет и с ним все мои труды

Больше подробно набирать не буду , поэтому вкратце решать можно так:

Найти все решения $a/b - c/d = 0, 0<a<b<p, 0<c<d<p$. Для этого построить классы эквивалентности дробей для каждой неприводимой (несократимой) дроби $a/b, 0<a<b<p$.
Получим, что таких равенств может быть:
$\sum_{n=1}^{p-1}\varphi(n)*[p/n]^2$ ,где $\varphi(n)$ функция Эйлера.
Такое же кол-во может быть для дробей: $0<b<a<p, 0<d<c<p$ .
Для случая $a = b, c = d, 0 < a,b,c,d < p$ количество равенств $a/b - c/d = 0$ будет: $(p-1)^2$.
Кол-чество равенств $a/b - c/d = 0$ когда один из множителей равен 0 есть: $(2p-1)^2$.
Тогда общее кол-во случаев $ad - bc = 0, 0\leqslant a,b,c,d < p$ будет равно:

$(2p-1)^2 + (p-1)^2 + 2*\sum_{n=1}^{p-1}\varphi(n)*[p/n]^2$ .

Эту сумму можно оценить асимптотически - если автору это очень нужно, пусть даст знать.
Удачи.

[Gordmit]

Yuri1111 писал(а):

Вообще то, количество решений $ad=bc=0$ при $0\leqslant a,b,c,d \leqslant p-1$ есть $(2p-1)^2$.
Кроме того , количество решений $ad=n$ есть $\tau(n)$ БЕЗ ограничения $0\leqslant a,d \leqslant p-1$; а с учетом этого ограничения, решений будт меньше (или равно), так как надо отбросить решения где один из множителей больше или равен $p$.
Так что надо еще поработать...

Согласен, ограничение не учёл