Хочу быть математиком.

[мат-ламер]

anokata в сообщении #846118 писал(а):

Каков общий вид разложения на множители?

Во-первых, Ваши примеры справедливы для $n=2^k-1$. А что будет для остальных $n$? Рассмотрите частный случай $n=4$. Во-вторых, окончательно ли Ваше разложение? А многочлен $1+x^4$ Вы не пробовали дальше разложить? В третьих тут интересно познакомиться с комплесными числами, формулой Муавра, корнями из единицы (комплексными). Кроме той книги по алгебре, что Вы читаете у Гельфанда есть книга по тригонометрии (в конце про комплексные числа).

[Munin]

anokata в сообщении #846118 писал(а):

С удовольствием бы ещё почитал таких Ваших наставлений, или каких ещё.

Да толку-то :-) Это всё "к слову", причём больше пользы вам приносят реальные задачи и общение с мат-ламер, Xaositect, provincialka. Такие "наставления" не имеют смысла, пока не "наполнены мясом" реальных действий, на которые они ссылаются. Если пытаться "говорить наставления ради наставлений", получится "вода".

Я всего лишь (надеюсь) помогаю видеть перспективу того, что вы делаете. Как в притче про двух строителей, один из которых сказал "я кладу стену", а другой - "я возвожу храм".

anokata в сообщении #846118 писал(а):

Я почти всегда занимаюсь этим на ПК. Имеет ли какой-то дидактический смысл писать на бумаге ручкой? А то почерк не очень красивый, что мешает видеть не то что общую структуру, а даже отдельные элементы замутняет, и ведёт ко многим нелепым ошибкам по недосмотру и неаккуратности. А вот на ПК, отобразив формулы, оформив минимально текст - уже всё выглядит много понятнее, и так приятно, что хочется продолжать что-то решать и искать.

Дидактического смысла никакого, а есть только практический. Что вам удобнее, то и делайте. Правда, "удобнее" надо рассматривать с разных сторон и всерьёз, в том числе и "где чаще возникают ошибки, где их легче видеть, удобнее искать и исправлять". Мне, например, часто удобно сочетать: что-то писать ручкой, что-то на компьютере. Ручка удобнее, чтобы быстро написать что-то, нарисовать стрелочки туда-сюда, и на нескольких листах бумаги, разложенных вокруг, виднее всё в целом. А компьютер удобнее для операций "скопировать и вставить", когда надо двигаться по выкладкам с незначительными изменениями на каждом шаге, и не ошибаться при переписывании (зато он провоцирует ошибки других типов). Кроме того, компьютер (с некоторыми матпакетами) позволяет быстро выполнить рутинные операции, быстро визуализировать что-то (нарисовать график функции, разложить в ряд). Да хотя бы разложить число на множители.

Думаю, у человека с другой изначальной привычкой соотношение "бумажных" и "компьютерных" действий может быть другое. Но в целом отказываться ни от того, ни от другого не стоит.

И по поводу почерка: его легко исправить. Просто сознательно вырисовывайте буковки той формы, которую вам хочется. Уж если делать это медленно и старательно, то нет причины не справиться! :-) А через пару месяцев новый почерк дойдёт уже до автоматизма.

И не надо винить только почерк в ошибках по недосмотру или неаккуратности. Эти проблемы от почерка не зависят, а возникают всегда. Бороться с ними можно только тренировкой и самоконтролем. Воспитывайте в себе тщательность, аккуратность, ответственность, приучайтесь перепроверять выкладки и результаты, и т. п.

[мат-ламер]

anokata в сообщении #846118 писал(а):

Каков общий вид разложения на множители?

Кстати, разложения разные бывают. Если допустимы многочлены с комплексными коэффициентами, то любой многочлен можно разложить на многочлены первой степени. Если допустимы многочлены с действительными коэффициентами, то любой многочлен можно разложить на многочлены степени не выше двух. Вам до конца понятно почему это так? Интересно также рассмотреть разложение рассматриваемых Вами многочленов на многочлены с целыми коэффициентами. Попробуйте найти такие разложения для $n \le 16$. В учебниках эта тема называется "многочлены деления круга".

[anokata]

мат-ламер в сообщении #846139 писал(а):

Во-первых, Ваши примеры справедливы для $n=2^k-1$. А что будет для остальных $n$? Рассмотрите частный случай $n=4$. Во-вторых, окончательно ли Ваше разложение? А многочлен $1+x^4$ Вы не пробовали дальше разложить?

Ах, да, я изначально рассматривал со стороны такого произведения, так что для суммы это, разумеется, совсем не общий случай. Да, не окончательно разложение.
Ладно, беру многочлен $1+x^4$. Попробую опасные размышления, не повторяя давний материал, как уж вспомнится.
Поскольку в разложении на простейшие многочлены учавствуют множители вида $x-x_1$ где $x_1$ - корень раскладываемого многочлена, то попробуем решить уравнение $x^4+1=0$
Получаем, $x^4=-1$, откуда
$x^2=\pm (-1)^{1/2}$
и $x=\pm (\pm(-1)^{1/2})^{1/2}=\pm \sqrt{\pm\sqrt{-1}}=\pm \sqrt{\pm i}$

То есть многочлен должен получаться из $(x-\sqrt{i})(x+\sqrt{i})(x-\sqrt{-i})(x+\sqrt{-i})$

Упростим и раскроем
$(x^2-\sqrt{i}^2)(x^2-\sqrt{-i}^2)=(x^2-i)(x^2+i)=x^4-i^2=x^4+1$
Хотя кажется что надо бы модули, но тогда (ведь $|i|=1$?)
$(x^2-|i|)(x^2+|i|)=x^4-|i|^2=x^4-1$
Где я ошибся?
Кстати, кажется незнаю как правильно обращаться с $\pm$

мат-ламер в сообщении #846157 писал(а):

Если допустимы многочлены с действительными коэффициентами, то любой многочлен можно разложить на многочлены степени не выше двух. Вам до конца понятно почему это так?

Сейчас уже не помню как именно раскладываются любые многочлены с действительными коэффициентами на многочлены степени не выше второй, и как это доказывается. Понимаю что некоторые нельзя разложить на многочлены с действительными коэффициентами первой степени, т.к. не у всех только действительные корни.

(надо этот материал восстанавливать, но ещё не дошёл)

[anokata]

Насколько я понял намёки предыдущих упражнений, в задании перемножить
$(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^{10})(1-x+x^2-x^3+x^4-x^5+x^6-x^7+x^8-x^9+x^{10})$
намекают на способ домножения на $(1-x^2)$. итак.

домножим на $(1-x)(1+x)$

получим $(1-x^{11})(1+x^{11})=1-x^{22}$

вынесем $(1-x)$ (разделив)

$(1-x)(x^{21}+x^{20}+...+x+1)$
вынесем $(1+x)$
$(1-x)(1+x)(x^{20}+x^{18}+...+x^2+1)$
значит изначальное произведение есть $(x^{20}+x^{18}+...+x^2+1)$

Вопрос, а как можно его решить не умея делить многочлены (ведь тема эта идёт после данного упражнения) и не прямым перемножением?

Хм, вспомнил. Это основано на обощении наблюдения того, что
$(1-x)(1+x)(1+x^2)(1+x^4)=(1-x)(x^7+x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)=1-x^8$ то есть $1-x^8$ делится на $(1-x)$
и $1+x^3=(1+x)(x^2-x+1)$ то есть $1+x^3$ делится на $(1+x)$
в общем случае
$(1 - x^n)=(1-x)(1+x+...+x^{n-1})$
поскольку раскрыв получим
$1+x+...+x^{n-1} -x-x^2-...-x^n=1-x^n$

и $1+x^{2n+1}=(1+x)(1-x+x^2-x^3+...+(-1)^i x^i+...x^{2n})$
поскольку раскрыв получим
$1-x+x^2-x^3+...+(-1)^i x^i+...x^{2n} -x^2+x^3+...+(-1)^{i}x^{i+1} +...+x^{2n+1}=1+x^{2n+1}$

(да, это можно не только с единицей...)

Тем не менее, даже уже такую тему непонятно как можно изучить последовательно.

-- 06.04.2014, 17:05 --

мат-ламер в сообщении #846157 писал(а):

Интересно также рассмотреть разложение рассматриваемых Вами многочленов на многочлены с целыми коэффициентами. Попробуйте найти такие разложения для $n \le 16$. В учебниках эта тема называется "многочлены деления круга".

Что-то мне подсказывает что это уже близко к общей алгебре (теория колец?) Наверно не стоит уж на столько глубоко пока в одну тему уходить. Любопытно конечно, но стоит ли оно того? Не лучше ли другие темы доповторить более-меннее глубоко и изучить уже общую теорию (ну что на первом курсе есть или даже раньше)? А то так можно очень долго и самостоятельно изобретать то, что и так уже исследовано и изложено в учебниках или учить одну тему. Это конечно полезно, но тут надо знать меру. Как бы узнать о величине этой меры?

[мат-ламер]

anokata в сообщении #846170 писал(а):

Где я ошибся?

anokata в сообщении #846170 писал(а):

Хотя кажется что надо бы модули,

И каким образом сюда проникли модули? Кстати, $( \sqrt z)^2=|z|$ не верно (для комплексных $z$).

-- Вс апр 06, 2014 17:54:37 --

anokata в сообщении #846170 писал(а):

То есть многочлен должен получаться из $(x-\sqrt{i})(x+\sqrt{i})(x-\sqrt{-i})(x+\sqrt{-i})$

Попробуйте в качестве упражнения вычислить корни в этой формуле явно.

[Munin]

anokata в сообщении #846237 писал(а):

Как бы узнать о величине этой меры?

Большинство студенческих учебников подогнаны по размеру к размеру курса (1-2-3 семестра, обычно). Поэтому, на них можно ориентироваться в плане "первого знакомства с предметом". Глубокие монографии, конечно, пределов себе не ставят.

[мат-ламер]

anokata в сообщении #846118 писал(а):

Правильно ли делаю, что этим занимаюсь?

Правильно. Простейшие свойства многочленов надо знать.

-- Вс апр 06, 2014 19:40:12 --

anokata в сообщении #846170 писал(а):

Ладно, беру многочлен $1+x^4$. Попробую опасные размышления, не повторяя давний материал, как уж вспомнится.

А если повторяя, то можно вспомнить про метод неопределённых коэффициенов.

-- Вс апр 06, 2014 19:48:16 --

anokata в сообщении #846170 писал(а):

Сейчас уже не помню как именно раскладываются любые многочлены с действительными коэффициентами на многочлены степени не выше второй, и как это доказывается.

Тут можно задать себе вопрос. Вот задан многочлен с действительными коэффициентами. Каким может быть множество его корней на комплексной плоскости. Это произвольное конечное множество на ком. плоскости (в нужном их количестве), или оно не совсем произвольное? После ответа на этот вопрос и исходный прояснится.

-- Вс апр 06, 2014 19:51:31 --

anokata в сообщении #846237 писал(а):

Вопрос, а как можно его решить не умея делить многочлены

Ну, например, по индукции. К тому же, если Вы собираетесь специализироваться по алгебре, то вопрос о делении многочленов не должен Вас смущать.

-- Вс апр 06, 2014 19:53:24 --

anokata в сообщении #846237 писал(а):

Тем не менее, даже уже такую тему непонятно как можно изучить последовательно.

Не надо стараться быть строгим педантом и всё изучать строго последовательно. Иногда можно и заглянуть вперёд.

-- Вс апр 06, 2014 19:57:03 --

anokata в сообщении #846237 писал(а):

Что-то мне подсказывает что это уже близко к общей алгебре (теория колец?) Наверно не стоит уж на столько глубоко пока в одну тему уходить. Любопытно конечно, но стоит ли оно того?

Эта тема встречается в университетских учебниках алгебры и в журнале "Квант" встречалась. Стоит ли оно или нет - Вам решать. Я просто подумал, что Вы упражняетесь в разложении многочленов.

[anokata]

мат-ламер в сообщении #846281 писал(а):

И каким образом сюда проникли модули? Кстати, $( \sqrt z)^2=|z|$ не верно (для комплексных $z$).

Именно из этого выражения. Буду знать.

мат-ламер в сообщении #846338 писал(а):

А если повторяя, то можно вспомнить про метод неопределённых коэффициенов.

...найдём разложение $1+x^4$ методом неопределённых коэффициентов. разложим на множители первой степени, значит их должно быть 4.

$(x+a)(x+b)(x+c)(x+d)=$

$(x^2+bx+ax+ab)(x^2+cx+dx+cd)=$

$x^4+cx^3+dx^3+cdx^2+bx^3+bcx^2+bdx^2+bcdx+$

$ax^3+acx^2+adx^2+acdx+abx^2+abcx+abdx+abcd=$

$x^4+x^3(c+d+b+a)+x^2(cd+bc+bd+ac+ad+ab)+x(bcd+acd+abc+abd)+abcd$

составим условие для коэффициентов

$$ \begin{cases} c+d+b+a=0\\ cd+bc+bd+ac+ad+ab=0 \\ bcd+acd+abc+abd=0 \\ abcd=1 \end{cases} $$

Тут я робко отхожу в сторонку, попытаю сначала чего пороще.

попробую сначала для степени 2 (и 3).
разложим $x^2+k$ на $(x+a)(x+b)$ методом неопределённых коэффициентов (может я этот метод не правильно понимаю?)

$(x+a)(x+b)=x^2+bx+ax+ab=x^2+x(a+b)+ab$

составим условие для коэффициентов

$$ \begin{cases} a+b=0\\ ab=k \end{cases} $$

откуда
$a=-b$

$-b^2=k$

$b^2=-k$

$b=\pm \sqrt{-k}$

$a=\mp \sqrt{-k}$

Проверим

$(x\mp \sqrt{-k})(x\pm \sqrt{-k})=x^2 +(\pm x\sqrt{-k} \mp x \sqrt{-k})-\sqrt{-k}^2=x^2+k$

Вот тут я начинаю понимать, в чём состоит вопрос про $\pm$. В предыдущем выражении использование этого знака подразумевает, что либо в обоих случаях берётся верхний знак, либо нижний (т.е. взаимоисключающе), при этом важно, что именно за раз в обоих это делается, т.е. они зависимы. Или лучше сказать, что выбор этого знака производится для выражения целиком. Так вот в моём обычном понимании, мне хочется рассматривать как раз наоборот - каждый знак независимо. Таким образом два знака $\pm$ дадут уже 4 варианта:
$(...+...+...)$,
$(...+...-...)$,
$(...-...+...)$,
$(...-...-...)$,
Вопрос: используется ли где-то такое понимание? Нужно ли оно?

мат-ламер в сообщении #846338 писал(а):

Эта тема встречается в университетских учебниках алгебры и в журнале "Квант" встречалась. Стоит ли оно или нет - Вам решать. Я просто подумал, что Вы упражняетесь в разложении многочленов.

Не только в разложении, а в самых простых, основных темах для многочленов. Потому и в комплексные пока не лезу, ещё обычных не мало осталось.

[provincialka]

Если не хотите "лезть в комплексные", не стоит пока писать выражения типа $\sqrt{i}$. Корень - штука непростая.

[Deggial]

anokata, к Вам убедительная просьба для цельных задач создавать отдельные темы в разделе "Помогите решить/разобраться" - Вам там тоже помогут, а переписка будет структурированной, а не в виде монолита.

[мат-ламер]

anokata в сообщении #846675 писал(а):

Так вот в моём обычном понимании, мне хочется рассматривать как раз наоборот - каждый знак независимо.

Если брать независимо (4 варианта), то увидите, что исходная система в двух вариантах из 4-х не удовлетворяется.

anokata в сообщении #846675 писал(а):

Вопрос: используется ли где-то такое понимание? Нужно ли оно?

Будете изучать комплексный анализ, познакомитесь, как правильно работать с многозначными функциями.

anokata в сообщении #846675 писал(а):

найдём разложение $1+x^4$ методом неопределённых коэффициентов. разложим на множители первой степени, значит их должно быть 4.

Но если Вы решили раскладывать на многочлены первой степени, то будьте готовы, что коэффициенты там будут комплексные. Получите систему из 4-х уравнений с 4-мя комплексными неизвестными. Это сложный путь. Проще раскладывать на два множителя второй степени с действительными коэффициентами. При желании затем можно каждый множитель доразложить. После того, как ближе познакомитесь с комплексными числами, увидите что эта задача решается просто.
anokata. Вы сейчас решаете задачи из Гельфанда-Шеня? А задачу 124 решили?

[provincialka]

(стесняюсь напомнить)

provincialka в сообщении #845666 писал(а):

Вообще-то многие биквадратные полиномы можно раскладывать, используя формулы сокращенного умножения. Например, $x^4+ax^2+1 = (x^2+1)^2-(2-a)x^2$. Значит, при $a<2$ получаем представление многочлена в виде разности квадратов.

$$x^4+ax^2+1 = (x^2+1-\sqrt{2-a}\cdot x)(x^2+1+\sqrt{2-a}\cdot x)$$

Можно вывести и более общую формулу, для многочлена со свободным членом $b^2$

При $a=0$ тоже работает.

[anokata]

Благодарю за оказываемую помощь.

мат-ламер в сообщении #846868 писал(а):

Вы сейчас решаете задачи из Гельфанда-Шеня? А задачу 124 решили?

Из него. Не добрался ещё до неё. Так на 92 и остановился. Самостоятельно начал исследовать - вот и застрял. К тому же внимание опять распыляется на другие подобные задания из других книг (Виленкин напр.) где тоже остановился.
Понял, надо материал дальше почитать.

provincialka

Поражаюсь, как Вы находите простейшие элегантные решения, чувствую себя слепым ничтожеством.

[Munin]

anokata в сообщении #847058 писал(а):

Понял, надо материал дальше почитать.

Разумно.

anokata в сообщении #847058 писал(а):

Поражаюсь, как Вы находите простейшие элегантные решения, чувствую себя слепым ничтожеством.

Такое ощущение бывает полезно: меньше иллюзий на свой счёт. Но тут ещё важен другой аспект: нужно, чтобы от этого разгоралась жажда "догнать и перегнать", а не наоборот, опускались бы руки. Вам всё то же самое доступно. Здесь большую роль играет навык и практика (часто многолетняя), а вовсе не какая-то особая гениальность. (Тем более, что и гениальность сама по себе в большой степени - тоже навык, практика, стремление к победе, как бы это ни выглядело со стороны волшебством.)