Детерминант матрицы. Почему именно такое определение?

[Don-Don]

Как его вычислять -- это я знаю. Но почему именно так его нужно вычислять, а не иначе? Почему именно так устроено определение детерминанта? Можно ли это на пальцах объяснить, не углубляясь в дальнейшую теорию сильно?

Для матрицы $n \times n$ определителем будет:

$\Delta=\sum_{\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n} (-1)^{N(\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n)} \cdot a_{\alpha_11} \cdots a_{\alpha_nn}$

[mihailm]

Для чего определитель? чтоб СЛАУ по Крамеру решать. Если по другому определитель определить - ответы неверные будут, а это не хорошо

[g______d]

Полностью антисимметричная $n$-линейная форма единственна с точностью до умножения на скаляр. Если потребовать, чтобы на единичной матрице она равнялась единице, получится детерминант.

[Don-Don]

mihailm в сообщении #844034 писал(а):

Для чего определитель? чтоб СЛАУ по Крамеру решать. Если по другому определитель определить - ответы неверные будут, а это не хорошо

А почему именно так нужно определять, чтобы были верные ответы?

-- 01.04.2014, 13:10 --

g______d в сообщении #844037 писал(а):

Полностью антисимметричная $n$-линейная форма единственна с точностью до умножения на скаляр. Если потребовать, чтобы на единичной матрице она равнялась единице, получится детерминант.

ничего не понятно(

[Otta]

Don-Don в сообщении #844055 писал(а):

ничего не понятно(

А жаль. :) Потому что именно это хорошее, правильное и совершенно прозрачное определение, а не то, которое Вы привели и которое действительно выглядит как набор букв (что-то умножили, что-то сложили, шаманство, да и только). Да, понятно, что Вам так давали. Но Ваша формула получается из того естественного определения, которое привел g______d, а не наоборот.

[Xaositect]

Это единственная функция, которая равна нулю на линейно зависимых строках, линейная по каждой строке и равная 1 на единичной матрице. Можете посмотреть тут, лекция 4.

[kp9r4d]

Определитель матрицы — это ориентированный объем параллелепипеда, рёбра которого — её столбцы.

[nikvic]

Don-Don в сообщении #844055 писал(а):

ничего не понятно

Если я правильно понимаю, Вам для начала надлежит "разделить" в своей голове функцию, называемую детерминантом, и способы/алгоритмы её вычисления - которых тьма-тьмущая

Формула из первого поста - некий способ. Он, конечно, задаёт некую функцию и может быть использован как определение. Но вот вычислять её указанным способом совсем не обязательно (и очень накладно).

[Don-Don]

nikvic в сообщении #844074 писал(а):

Формула из первого поста - некий способ. Он, конечно, задаёт некую функцию и может быть использован как определение. Но вот вычислять её указанным способом совсем не обязательно (и очень накладно).

Да вычислить могу я могу и через инверсии, и через алгебраические дополнения, только вот не понимаю -- почему так все устроено.

[Otta]

Don-Don в сообщении #844080 писал(а):

Да вычислить могу я могу и через инверсии, и через алгебраические дополнения, только вот не понимаю -- почему так все устроено.

А Вам говорят: разделяйте способы вычисления и суть. Суть одна, как Вы ни считайте. Это то, о чем Вам говорят g______d и Xaositect и nikvic и уже кто только не говорит. Ссылку прочитали?

[mihailm]

Don-Don в сообщении #844055 писал(а):

mihailm в сообщении #844034 писал(а):

Для чего определитель? чтоб СЛАУ по Крамеру решать. Если по другому определитель определить - ответы неверные будут, а это не хорошо

А почему именно так нужно определять, чтобы были верные ответы?...

Что значит почему? это задача такая математическая, придумать такую формулу - результат вот он.

(Оффтоп)

Можно кстати и по другому вопрос понять - почему нужно определять, чтобы ответ был правильный?
Зацикливаться только на правильных ответах несправедливо по отношению к неправильным? Вы это имели в виду?

[Евгений Машеров]

Ну, давайте начнём с исторического подхода. Появляются в разных прикладных задачах линейные уравнения. И их надо решать. В ходе попыток для системы двух уравнений с двумя неизвестными получается простая формула с суммой произведений в знаменателе. При этом она отвечает на вопрос "А вообще система решается?". Определяет, есть ли решение. Детерминирует, отчего её так и назвали. Для системы из трёх уже не так просто, но также произведения элементов из разных столбцов и строк с разными знаками. Точно так же, если это выражение равно нулю, то решения у неоднородной системы нет, а у однородной есть. Далее обобщают по индукции.

[Don-Don]

Евгений Машеров в сообщении #844105 писал(а):

Ну, давайте начнём с исторического подхода. Появляются в разных прикладных задачах линейные уравнения. И их надо решать. В ходе попыток для системы двух уравнений с двумя неизвестными получается простая формула с суммой произведений в знаменателе. При этом она отвечает на вопрос "А вообще система решается?". Определяет, есть ли решение. Детерминирует, отчего её так и назвали. Для системы из трёх уже не так просто, но также произведения элементов из разных столбцов и строк с разными знаками. Точно так же, если это выражение равно нулю, то решения у неоднородной системы нет, а у однородной есть. Далее обобщают по индукции.

О, вот это уже интересно, спасибо! Значит так было в реальности? Отсюда и появились определители и матрицы?

-- 01.04.2014, 23:04 --

Xaositect в сообщении #844060 писал(а):

Это единственная функция, которая равна нулю на линейно зависимых строках, линейная по каждой строке и равная 1 на единичной матрице. Можете посмотреть тут, лекция 4.

Ок, спасибо, почитал, понятно. А для чего нужна линейная зависимость или независимость?

[spyphy]

Don-Don в сообщении #844032 писал(а):

Почему именно так устроено определение детерминанта?

Вопрос не правильно сформулирован. Правильно как-то так: чем интересна величина \sum_{\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n} (-1)^{N(\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n)} \cdot a_{\alpha_11} \cdots a_{\alpha_nn}$.
А интересна она, например, тем, что является инвариантом линейного оператора, т.е. в каком базисе матрицу его ни бери, определители этих матриц будут везде одинаковые. Это не единственный инвариант оператора, но один из наиболее полезных.

[Евгений Машеров]

Don-Don в сообщении #844336 писал(а):

Евгений Машеров в сообщении #844105 писал(а):

Ну, давайте начнём с исторического подхода. Появляются в разных прикладных задачах линейные уравнения. И их надо решать. В ходе попыток для системы двух уравнений с двумя неизвестными получается простая формула с суммой произведений в знаменателе. При этом она отвечает на вопрос "А вообще система решается?". Определяет, есть ли решение. Детерминирует, отчего её так и назвали. Для системы из трёх уже не так просто, но также произведения элементов из разных столбцов и строк с разными знаками. Точно так же, если это выражение равно нулю, то решения у неоднородной системы нет, а у однородной есть. Далее обобщают по индукции.

О, вот это уже интересно, спасибо! Значит так было в реальности? Отсюда и появились определители и матрицы?

-- 01.04.2014, 23:04 --

Xaositect в сообщении #844060 писал(а):

Это единственная функция, которая равна нулю на линейно зависимых строках, линейная по каждой строке и равная 1 на единичной матрице. Можете посмотреть тут, лекция 4.

Ок, спасибо, почитал, понятно. А для чего нужна линейная зависимость или независимость?

Судя по четырёхтомной "Истории детерминантов" Muir'а
http://www.twirpx.com/file/592680/
http://www.twirpx.com/file/592685/
http://www.twirpx.com/file/592689/
http://www.twirpx.com/file/592697/

развивалось в связи с решением уравнений, в 1750 году Крамер предложил формулу, дававшую решения системы линейных уравнений, в которой использовались всевозможные произведения элементом матрицы, по одному из каждого столбца и каждой строки, суммировавшиеся со знаками, определявшимися чётностью числа инверсий подстановки индексов. Затем тему разрабатывали Безу, Вандермонд, Лаплас, Лагранж в связи с решением систем уравнений. А само слово "детерминант" придумал Гаусс в 1801 году ("определитель" это буквальный перевод).
А выяснять линейную зависимость надо потому, что если в системе n уравнений с n неизвестными одно или более линейно зависит от прочих, значит, у нас на самом деле меньше уравнений, чем n.