Решить необычное уравнение

[h8w8]

Необычное, безусловно, для автора.
$\ctg x + \ctg15^\circ + \ctg\left({x + 25^\circ}\right) = \ctg15^\circ \ctg(x + 25^\circ )\ctg x $ Найти наименьшее положительное решение (в градусах).
На данный момент попробовал: делить на $\ctg15^\circ$ , расписывать сумму и произведение котангенсов, подумал о том, что для уравнения вида $x + y + z = xyz$ решением являются числа 1, 2, 3, но $\ctg15^\circ = 2 + \sqrt 3$ . Вольфрам выдаёт не целые значения и от обратного пойти не получается, зашёл в тупик. Прошу хотя бы дать направление, в котором следует двигаться.

[мат-ламер]

h8w8 в сообщении #843196 писал(а):

подумал о том, что для уравнения вида xyz=x+y+z решением являются числа 1, 2, 3,

А если не ограничиваться целыми числами? Но направление, думаю, правильное. Надо ввести ещё одно неизвестное. Третье незачем - оно константа. Из формулы котангенса суммы возникнет второе уравнение. Итого - система из двух уравнений с двумя неизвестными. Может удастся его решить. (Вообще-то я в этом не спец. То что знал в школе - позабыл).

[gris]

Если без вольфрама, то вполне целый в градусах корень подбирается. Рассуждением, близким к Вашему 1-2-3 и тем, что в таких задачах должен быть целый корень . Доказать только, что там нет других. А правая и левая части монотонны в одну сторону вблизи нуля .

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Запишите формулы в соответствии с требованиями Правил форума, т.е. в $\TeX$.
Краткие инструкции можно найти здесь: topic8355.html и topic183.html.
Кроме этого, в теме Видео-пособия для начинающих форумчан можно посмотреть видео-ролик "Как записывать формулы".

После того как исправите сообщение, сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: не указана.

[Otta]

h8w8

h8w8 в сообщении #843196 писал(а):

$\ctg x + \ctg15^\circ + \ctg\left({x + 25^\circ}\right) = \ctg15^\circ \ctg(x + 25^\circ )\ctg x$

Сложите в левой части все слагаемые, начав с первых двух. Котангенсы, разумеется, записав, как частное. И к общему знаменателю все. Решение находится без всяких хитростей. Все решения.

[Cash]

Еще с детства меня впечатлил факт, что если сумма трех положительных чисел равна их произведению, то эти числа - суть тангенсы углов некоторого треугольника.
Доказательство очень простое.
$\tg(\alpha+\beta) = \frac {\tg \alpha + \tg \beta}{1-\tg \alpha \cdot \tg \beta}$
Откуда $\tg \alpha \cdot \tg \beta \cdot \tg (\pi - \alpha -\beta) = \tg \alpha + \tg \beta + \tg (\pi - \alpha -\beta)$
Для котангенсов из формулы
$\ctg(\alpha+\beta) = \frac {\ctg \alpha \cdot \ctg \beta -1}{\ctg \alpha + \ctg \beta}$
можно тоже выписать подобное.

[ИСН]

Cash в сообщении #843402 писал(а):

если сумма трех положительных чисел равна их произведению, то

Почему только положительных? Можно с одним отрицательным.

[Cash]

Всё так. Лень было расписывать - взял только самый распространенный случай. Принципиально ничего не меняется: в данной задаче весьма успешно работает формула тангенса/котангенса суммы.

[TOTAL]

(Оффтоп)

Cash в сообщении #843402 писал(а):

Еще с детства меня впечатлил факт, что если сумма трех положительных чисел равна их произведению, то эти числа - суть тангенсы углов некоторого треугольника.

Еще с детства меня впечатлил факт, что если сумма трех положительных чисел равна $180$ градусов, то эти числа - суть углы некоторого треугольника.

[AlexKaz]

Возможно стоит перейти от гиперболических функций к экспоненциальной форме и комплексным числам.

[Skeptic]

Маткад выдаёт значение $0$ при $x=24.99999999999999^\circ$.