2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Логарифмическое уравнение
Сообщение28.03.2014, 14:22 


22/11/11
380
$\log_{2\sqrt{2+\sqrt{3}}}(x^2+2x-2)=\log_{{2+\sqrt{3}}}(x^2+2x-3)$

Имеет ли это уравнение решение приличное? С чего начать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Логарифмическое уравнение
Сообщение28.03.2014, 15:37 
Заслуженный участник


16/02/13
4105
Владивосток
Приводим логарифмы к одному основанию — как минимум пара вариантов просматривается. Получаем уж не знаю, насколько, но явно чего-то попроще.

 Профиль  
                  
 
 Re: Логарифмическое уравнение
Сообщение28.03.2014, 16:06 


22/11/11
380
$\log_{2\sqrt{2+\sqrt{3}}}(x^2+2x-2)=\log_{{2+\sqrt{3}}}(x^2+2x-3)$

$\dfrac{\log_{{2+\sqrt{3}}}(x^2+2x-2)}{\log_{{2+\sqrt{3}}}({2\sqrt{2+\sqrt{3}}})}{=\log_{{2+\sqrt{3}}}(x^2+2x-3)$

$\dfrac{\log_{{2+\sqrt{3}}}(x^2+2x-2)}{\log_{{2+\sqrt{3}}}{2}+0,5}{=\log_{{2+\sqrt{3}}}(x^2+2x-3)$

$t=x^2+2x-2$

$\dfrac{\log_{{2+\sqrt{3}}}(t)}{\log_{{2+\sqrt{3}}}{2}+0,5}{=\log_{{2+\sqrt{3}}}(t-1)$

Пусть $p=\log_{{2+\sqrt{3}}}{2}+0,5$

$\log_{{2+\sqrt{3}}}(t)=p\cdot \log_{{2+\sqrt{3}}}(t-1)$

$t=(t-1)^p$

Вот что пока вышло...

 Профиль  
                  
 
 Re: Логарифмическое уравнение
Сообщение28.03.2014, 17:06 
Заслуженный участник


16/02/13
4105
Владивосток
Да, пары моментов я навскидку не оценил.

-- 29.03.2014, 01:08 --

Хотя... $p<1$, так?

-- 29.03.2014, 01:10 --

Надо, впрочем, ещё внимательно посмотреть на предмет эквивалентности преобразований, областей определения и т.п.

 Профиль  
                  
 
 Re: Логарифмическое уравнение
Сообщение28.03.2014, 18:56 
Заслуженный участник


03/01/09
1677
москва
Теперь осталось только найти минимум функции: $f(t)=t-(t-1)^p$

 Профиль  
                  
 
 Re: Логарифмическое уравнение
Сообщение28.03.2014, 19:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Andrei94 в сообщении #842236 писал(а):
$\log_{2\sqrt{2+\sqrt{3}}}(x^2+2x-2)=\log_{{2+\sqrt{3}}}(x^2+2x-3)$

Имеет ли это уравнение решение приличное? С чего начать?

Заменили $t=x^2+2x-3$, записАли $\log_{2\sqrt{2+\sqrt{3}}}(t+1)=\log_{{2+\sqrt{3}}}(t)=z$, получили $(2+\sqrt{3})^z+1=(2\sqrt{2+\sqrt{3}})^z $, разделили уравнение на его правую часть, угадали корень и воспользовались монотонностью левой части.
Все.

 Профиль  
                  
 
 Re: Логарифмическое уравнение
Сообщение29.03.2014, 18:36 


22/11/11
380
Brukvalub в сообщении #842360 писал(а):
Заменили $t=x^2+2x-3$, записАли $\log_{2\sqrt{2+\sqrt{3}}}(t+1)=\log_{{2+\sqrt{3}}}(t)=z$, получили $(2+\sqrt{3})^z+1=(2\sqrt{2+\sqrt{3}})^z $, разделили уравнение на его правую часть, угадали корень и воспользовались монотонностью левой части.
Все.

Спасибо, а откуда следует монотонность $f(z)=\dfrac{(2+\sqrt{3})^z+1}{(2\sqrt{2+\sqrt{3}})^z}=\left(\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}\right)^z+\dfrac{1}{(2\sqrt{2+\sqrt{3}})^z}$? Можно ли без производной обосновать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Логарифмическое уравнение
Сообщение29.03.2014, 18:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Если по-человечески записать второе слагаемое, то оба основания показательных функций в левой части будут меньше единицы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Логарифмическое уравнение
Сообщение29.03.2014, 21:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Интересно, можно ли здесь использовать то, что $\sqrt{2+\sqrt3}=\frac{1+\sqrt3}{\sqrt2}$?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group