Логарифмическое уравнение

[Andrei94]

$\log_{2\sqrt{2+\sqrt{3}}}(x^2+2x-2)=\log_{{2+\sqrt{3}}}(x^2+2x-3)$

Имеет ли это уравнение решение приличное? С чего начать?

[iifat]

Приводим логарифмы к одному основанию — как минимум пара вариантов просматривается. Получаем уж не знаю, насколько, но явно чего-то попроще.

[Andrei94]

$\log_{2\sqrt{2+\sqrt{3}}}(x^2+2x-2)=\log_{{2+\sqrt{3}}}(x^2+2x-3)$

$\dfrac{\log_{{2+\sqrt{3}}}(x^2+2x-2)}{\log_{{2+\sqrt{3}}}({2\sqrt{2+\sqrt{3}}})}{=\log_{{2+\sqrt{3}}}(x^2+2x-3)$

$\dfrac{\log_{{2+\sqrt{3}}}(x^2+2x-2)}{\log_{{2+\sqrt{3}}}{2}+0,5}{=\log_{{2+\sqrt{3}}}(x^2+2x-3)$

$t=x^2+2x-2$

$\dfrac{\log_{{2+\sqrt{3}}}(t)}{\log_{{2+\sqrt{3}}}{2}+0,5}{=\log_{{2+\sqrt{3}}}(t-1)$

Пусть $p=\log_{{2+\sqrt{3}}}{2}+0,5$

$\log_{{2+\sqrt{3}}}(t)=p\cdot \log_{{2+\sqrt{3}}}(t-1)$

$t=(t-1)^p$

Вот что пока вышло...

[iifat]

Да, пары моментов я навскидку не оценил.

-- 29.03.2014, 01:08 --

Хотя... $p<1$, так?

-- 29.03.2014, 01:10 --

Надо, впрочем, ещё внимательно посмотреть на предмет эквивалентности преобразований, областей определения и т.п.

[mihiv]

Теперь осталось только найти минимум функции: $f(t)=t-(t-1)^p$

[Brukvalub]

Andrei94 в сообщении #842236 писал(а):

$\log_{2\sqrt{2+\sqrt{3}}}(x^2+2x-2)=\log_{{2+\sqrt{3}}}(x^2+2x-3)$

Имеет ли это уравнение решение приличное? С чего начать?

Заменили $t=x^2+2x-3$, записАли $\log_{2\sqrt{2+\sqrt{3}}}(t+1)=\log_{{2+\sqrt{3}}}(t)=z$, получили $(2+\sqrt{3})^z+1=(2\sqrt{2+\sqrt{3}})^z $, разделили уравнение на его правую часть, угадали корень и воспользовались монотонностью левой части.
Все.

[Andrei94]

Brukvalub в сообщении #842360 писал(а):

Заменили $t=x^2+2x-3$, записАли $\log_{2\sqrt{2+\sqrt{3}}}(t+1)=\log_{{2+\sqrt{3}}}(t)=z$, получили $(2+\sqrt{3})^z+1=(2\sqrt{2+\sqrt{3}})^z $, разделили уравнение на его правую часть, угадали корень и воспользовались монотонностью левой части.
Все.

Спасибо, а откуда следует монотонность $f(z)=\dfrac{(2+\sqrt{3})^z+1}{(2\sqrt{2+\sqrt{3}})^z}=\left(\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}\right)^z+\dfrac{1}{(2\sqrt{2+\sqrt{3}})^z}$? Можно ли без производной обосновать?

[Brukvalub]

Если по-человечески записать второе слагаемое, то оба основания показательных функций в левой части будут меньше единицы.

[provincialka]

Интересно, можно ли здесь использовать то, что $\sqrt{2+\sqrt3}=\frac{1+\sqrt3}{\sqrt2}$?