Циркуляция вдоль петли

[Omega]

$$d\,\mathbf l=\dfrac{\vec{r}}{r}dr \Rightarrow \int\limits_{r_{1}}^{r_{2}} (\mathbf F, d\mathbf l)=\int\limits_{r_{1}}^{r_{2}} \dfrac{dr}{r}=\ln{\left ( \dfrac{r_{2}}{r_{1}} \right)}$$

То есть получается на этом доказательство заканчивается?
Итого, циркуляция ноль потому что на синей дуге ней поле $\mathbf F$ перпендикулярно касательному вектору к $d\mathbf l$, а
по зелёной дуге "циркуляция" - ноль потому что, в частности, если центр координат лежит на середине диаметра, то $r_{1}=r_{2}$. Всё ли я правильно понял?

[svv]

Да, хорошо.

Эта формула полностью отвечает на вопрос о циркуляции как для случая, когда источник внутри контура, так и для случая, когда он вне контура. И в том, и в другом случае можно произвольно выбрать начальную точку, конечная с ней совпадет, то есть $r_1=r_2$ и интеграл равен нулю.

И только если источник лежит на самом контуре, появляются математические проблемы. Ситуацию можно свести к такой. Берем окружность радиуса $1$. Рассматриваем диаметр. Он состоит из двух участков: левый (где $d\mathbf l$ направлено к источнику) и правый (от источника):

Здесь $r_A=1, r_D=1, r_O=0$, а $r_B$ и $r_C$ какие-то совсем маленькие.
Мы можем найти интеграл на участке $AB$, он равен $\ln r_B-\ln r_A = \ln r_B$.
Мы можем найти интеграл на участке $CD$, он равен $\ln r_D-\ln r_C = -\ln r_C$.
Мы не можем найти интеграл на участках $BO$ или $OC$, он расходится.
Если устремлять $r_B$ и $r_C$ к нулю так, чтобы они были равны, то, понятно, $\ln r_B+(-\ln r_C)=0$. В этом смысле интеграл равен нулю. Т.е. в смысле главного значения.

[Omega]

Снова большое спасибо! Теперь я во всем разобрался!