Циркуляция вдоль петли

[svv]

Забегая вперед. Отсюда следует, что поток через границу самой сложной и запутанной области (с источником внутри) равен потоку через окружность (с источником тоже внутри, а именно в центре), а этот поток легко вычисляется. Более того, ясно, что поток через окружность не будет зависеть от радиуса окружности.

Но это впереди. А доказать независимость потока от формы границы всё-таки надо, это просто.

[Omega]

Просто, то есть так: $\Phi_{0}=0=\Phi_{1}-\Phi_{2} \Rightarrow \Phi_{1}=\Phi_{2}$ в силу аддитивности интеграла по многообразию?

[svv]

Да.
Чуть более аккуратно. У нас есть исходная фигура $a$ и две другие $b$ и $c$, полученные из неё (как на картинках).
Пишем: $\Phi_a=\Phi_1+\Phi_2$, где $\Phi_1$ — поток через внешний кусок границы, $\Phi_2$ — через внутренний. Заметьте, что у меня знак плюс (аддитивность!).
Дальше, $\Phi_b=\Phi_1$, но $\Phi_c=-\Phi_2$, потому что когда эта граница становится границей круга $c$ (а не куском границы области $a$), у неё меняется направление нормали. Нормаль на границе области $c$ уже направлена не к источнику, а от него.
Поэтому из $\Phi_a=\Phi_1+\Phi_2=0$ следует $\Phi_b=\Phi_c$.
Понятно?

Следующий вопрос. Найдите поток поля через границу круга (источник в центре круга). Поток, как говорилось, не должен зависеть от радиуса, но Вы честно вычислите для произвольного радиуса.

[Omega]

Понятно.
Поток: $\Phi_{0}=2\pi$.
Я так только и не понял, это верно и для случая, когда область содержит начало координат, как внутреннюю точку, и для случая, когда это точка - граница области?

[svv]

Правильно, $2\pi$.
Только когда внутри.

Я не написал такие слова (хотя это и так понятно). Если источник находится строго внутри области $b$, то существует круг такого малого радиуса с центром в источнике, что он вместе с границей находится целиком внутри $b$. Вот такой круг и выбираем в качестве $c$. Строим область $a=b\setminus c$ (все точки $b$, кроме точек $c$). Из того, что поток через границу $a$, состоящую из двух кусков, нулевой, следует, что поток через $b$ равен потоку через $c$, то есть, как Вы нашли, $2\pi$.

К сожалению, на случай источника на границе у меня сейчас нет времени. Но я надеюсь, что Вы его сами сможете разобрать. (Если закрыть глаза на не-совсем-корректность определения потока через границу в этом случае.) Возьмите верхний полукруг круга $c$, поток через вернюю дугу будет $\pi$, а поток через «дно» — нулевым, опять же, если закрыть глаза на одну точку. Что ситуация тонкая, видно из того, что если сместить источник на малейшее расстояние внутрь области, поток скачком станет $2\pi$, а на малейшее расстояние во внешность области — скачком станет нулевым.

[Omega]

Ещё раз спасибо большое! Постараюсь разобраться с границей сам. Если что, надеюсь, смогу вновь обратиться!

И ещё, то есть я также могу, используя вышедоказанную теорему и теорему Стокса доказать, что циркуляция вдоль таких контуров - циркуляция вдоль той же окружности, и равна эта циркуляция двум пи?

[svv]

Omega в сообщении #841831 писал(а):

И ещё, то есть я также могу, используя вышедоказанную теорему и теорему Стокса доказать, что циркуляция вдоль таких контуров - циркуляция вдоль той же окружности, и равна эта циркуляция двум пи?

Нет.
Циркуляция такого векторного поля уже равна нулю независимо от контура. Доказательство — через теорему Стокса. Ротор равен нулю. И, в отличие от потока, даже если окружность окружает источник в её центре, циркуляция будет нулевой: поле перпендикулярно касательной к контуру.

[Omega]

Итак, вот до чего дошли мои рассуждения.
Поток через всю искомую область есть сумма потока через область без бесконечно малого круга и потока через сам этот бесконечно малый круг.Но так, как доказано выше поток через область без круга - нуль, отсюда искомый поток через всю область есть $\pi$.
Всё более менее понятно, кроме того, как именно найти это значение - $\pi$..? Как показать что поток через часть круга - верхнюю дугу - $\pi$, а поток через "диаметр" или "дно" - это ноль?\\

И что делать с циркуляцией по такому контуру, с началом координат на границе?
Спасибо за ответы...

[svv]

Вы задаёте правильные вопросы.

Шаг первый. Допустим, есть источник (красный кружок) и вот такая дуга (синяя). Каждый луч из источника, пересекающий дугу, проходит её изнутри наружу области (бледно-желтая). Докажите с помощью полярных координат или как хотите, что поток нашего поля через дугу равен просто угловой мере дуги (углу, под которым она видна из источника, обозначен серыми лучами).

[Omega]

Элементарно:

$$\oint\limits_{C}(\vec{F},\vec{n})dl=\int\limits_{0}^{\varphi} \dfrac{(\vec{r},\vec{r})}{r^{3}} r d\varphi=\varphi$$

Мне интуитивно, как бы, понятно что область с границы видна под углом в 180 градусов, поэтому в итоге $\pi$, но что-то не так... по-моему это оговаривается более правильными словами, более точными?

[svv]

Из всей области оставляем её пересечение с кругом, радиус которого стремится к нулю.
Поток всякий раз будет тем же, потому что мы отбрасываем область, в которой нет источников.
Тогда угловая мера дна (зеленый) стремится к нулю, а угловая мера дуги окружности, лежащей в области (синий), стремится к $\pi$.
Доказать это очень просто. Источник лежит на границе. По условию граница гладкая, значит, существует касательная к границе в точке, где находится источник (касательная не показана на рисунке). Рассмотрим радиус-вектор $\mathbf r$ из источника $O$ к точке $A$ — это одна из двух точек, скажем, правая, где синяя дуга встречается с зеленым дном. Разделим вектор $\mathbf r=\vec{OA}$ на длину границы $s$ от источника $O$ до точки $A$. Будем двигать точку $A$ к источнику, всякий раз выбирая радиус окружности равным $r=|OA|$. Предел отношения $\frac {\mathbf r}{s}$ будет по определению единичным касательным вектором $\mathbf t$. Он обязан существовать, если граница гладкая. В таком случае и направление вектора $\mathbf r$ стремится к направлению касательного вектора $\mathbf t$.

[Omega]

Огромное спасибо!
То есть а с циркуляцией тогда как быть? В область также вписать круг, чтобы он пересекался с границей области изнутри и только по одной точке - началу координат. Тогда искомая циркуляция есть циркуляция по этой окружности? Можно ли так, или же просто: искомая циркуляция это циркуляция по этому, по описанному выше полукругу, которую ещё нужно найти?

[svv]

Как-то примерно так. Циркуляция по синей дуге окружности равна нулю, потому что на ней поле $\mathbf F$ перпендикулярно касательному вектору $d\mathbf l$. Это очевидно.

А циркуляция по зеленой дуге если и не равна нулю, то стремится к нулю с уменьшением длины зеленой дуги. Потому что на участке, где, интегрируя по дуге, мы движемся к источнику, скалярное произведение $(\mathbf F, d\mathbf l)<0$. А на участке, где мы уже прошли источник и движемся от него, скалярное произведение $(\mathbf F, d\mathbf l)>0$ (то и другое при достаточно малой длине дуги, чтобы она не успела хитро извернуться). И вклады этих участков компенсируют друг друга. Но это надо более аккуратно доказывать.

[Omega]

svv, спасибо. А то, что $\mathbf F \rightarrow \infty, \vec{r} \rightarrow 0 $ меняет ли суть дела? Или же можно сказать, что это множество меры нуль, и тогда если интегрировать по Лебегу, эта точка вклада в итог не принесёт?

[svv]

Если можно, я сразу не буду отвечать на этот вопрос, а позже, надеюсь, всё станет ясно.

В случае потока нашлась «отмычка», упростившая анализ: поток через дугу равен разности полярного угла конечной точки и начальной точки дуги, т.е. $\varphi_2-\varphi_1$. В случае циркуляции отмычка тоже есть, она упрощает рассмотрение и делает очевидными проблемы (они есть). Попробуйте её доказать: интеграл $\int (\mathbf F, d\mathbf l)$ по незамкнутой дуге (как циркуляция, только не по замкнутому контуру) равен $\ln r_2-\ln r_1$ (где $r_1, r_2$ — это расстояния от источника соответственно до начальной и конечной точки).

Отсюда, в частности, следует, что «циркуляция» (по незамкнутой дуге, поэтому в кавычках) вдоль синей дуги окружности равна нулю ($r_1=r_2$), а зеленую дугу можно заменить любым из диаметров окружности, то есть форма дуги не имеет значения.