Помогите доказать известный предел с помощью верх. пределов

[Rakel]

тогда возьмем $\varepsilon=|\varepsilon_1-M(|a|+R)| $
и если выражнение под модулем будет отрицательным то вот в этом месте

Rakel писал(а):

$ \frac{M(|a|+R)+ \varepsilon (N-M)}{N} \leq M(|a|+R)+\varepsilon $

будем делать так:
$ M(|a|+R)+\varepsilon =2M(|a|+R)-\varepsilon_1=2(\varepsilon_1-\varepsilon)- \varepsilon_1 \leq \varepsilon_1 $

Добавлено спустя 4 минуты 44 секунды:

Ой ошибка. Буду думать дальше.

Добавлено спустя 47 минут 38 секунд:

Все кажется додумалась. Вот здесь:

$ \frac{M(|a|+R)+ \varepsilon (N-M)}{N} \leq \frac{M(|a|+R)}{N}+\varepsilon$
выберем
$ N> \frac{M(|a|+R)}{\varepsilon} $
И тогда получим
$ \forall \varepsilon_1>0, \varepsilon = \frac{\varepsilon_1}{2} \exists n_1=M: \forall n>n_1 \Rightarrow |a_n-a|<\varepsilon , \exists n_2=\max({n1},{ \frac{M(|a|+R)}{\varepsilon}}): \forall n>n_2 \Rightarrow |(\frac{1}{n} \sum\limits_{k=1}^n a_k)-a|< \varepsilon_1 $

[Brukvalub]

Теперь все неплохо, только номер

\[n_2 \]

может оказаться ненатуральным , но такая мелочь легко поправима.

[Henrylee]

Извините, что вмешиваюсь, а может попроще?

Требуется доказать, что
\inf\limits_{n\ge 1}\sup\limits_{k\ge n}\frac1k\sum\limits_{i=1}^ka_i\le \inf\limits_{n\ge 1}\sup\limits_{k\ge n}a_k

а это следует из того, что среднee арифм. в конечной числовой последовательности всегда не превосходит максимального.

[Brukvalub]

Henrylee писал(а):

Требуется доказать, что
\inf\limits_{n\ge 1}\sup\limits_{k\ge n}\frac1n\sum\limits_{i=1}^ka_i\le \inf\limits_{n\ge 1}\sup\limits_{k\ge n}a_k

Туточки Вы чуток попутали условие: требовалось использовать этот факт для доказательства того, что последовательность средних арифметических первых к членов сходящейся последовательности сходится к тому же пределу. Вот если бы Вы показали, как это сделать с помощью неравенства для верхних пределов....

[Henrylee]

Brukvalub писал(а):

Henrylee писал(а):

Требуется доказать, что
\inf\limits_{n\ge 1}\sup\limits_{k\ge n}\frac1n\sum\limits_{i=1}^ka_i\le \inf\limits_{n\ge 1}\sup\limits_{k\ge n}a_k

Туточки Вы чуток попутали условие: требовалось использовать этот факт для доказательства того, что последовательность средних арифметических первых к членов сходящейся последовательности сходится к тому же пределу. Вот если бы Вы показали, как это сделать с помощью неравенства для верхних пределов....

Ну Вы же сами уже дали ответ, что достаточно кроме неравенства для верхних пределов использовать аналогичное для нижних. К этому добавить нечего. А я просто привел док-во "используемого факта". Для нижних, кстати, аналогично можно показать (представляя нижние пределы как sup inf)

[Brukvalub]

Henrylee писал(а):

А я просто привел док-во "используемого факта". Для нижних, кстати, аналогично можно показать (представляя нижние пределы как sup inf)

Согласен.

[Андрей123]

Henrylee писал(а):

Извините, что вмешиваюсь, а может попроще?

Требуется доказать, что
\inf\limits_{n\ge 1}\sup\limits_{k\ge n}\frac1k\sum\limits_{i=1}^ka_i\le \inf\limits_{n\ge 1}\sup\limits_{k\ge n}a_k

а это следует из того, что среднee арифм. в конечной числовой последовательности всегда не превосходит максимального.

Может быть я чего-то не понимаю, но из вашей последней фразы следует такое неравенство $ \inf\limits_{n\ge 1}\sup\limits_{k\ge n}\frac1k\sum\limits_{i=1}^ka_i\le \inf\limits_{n\ge 1}\sup\limits_{k\ge 1}a_k$, т.к в сумме есть слагаемые с индексами меньшими n.

[Rakel]

А почему вы верхний предел записали как $ \inf\limits_{n \ge 1}\sup\limits_{k \ge n} a_k $ ? Просто я не понимаю, как это следует из определения того что верхний предел является наибольшим частичным пределом последовательности ?

[Brukvalub]

Rakel писал(а):

Просто я не понимаю, как это следует из определения того что верхний предел является наибольшим частичным пределом последовательности ?

Это несложное упражнение на предел - проделайте его самостоятельно.

[Brukvalub]

Андрей123 писал(а):

Henrylee писал(а):

Извините, что вмешиваюсь, а может попроще?

Требуется доказать, что
\inf\limits_{n\ge 1}\sup\limits_{k\ge n}\frac1k\sum\limits_{i=1}^ka_i\le \inf\limits_{n\ge 1}\sup\limits_{k\ge n}a_k

а это следует из того, что среднee арифм. в конечной числовой последовательности всегда не превосходит максимального.

Может быть я чего-то не понимаю, но из вашей последней фразы следует такое неравенство $ \inf\limits_{n\ge 1}\sup\limits_{k\ge n}\frac1k\sum\limits_{i=1}^ka_i\le \inf\limits_{n\ge 1}\sup\limits_{k\ge 1}a_k$, т.к в сумме есть слагаемые с индексами меньшими n.

Поскольку я участвовал в обсуждении этой темы, то считаю себя обязанным ответить на заданный вопрос (хотя задан он и не мне).
1. Конечно, из процитированного рассуждения Henrylee видно, что в нем содержится именно та ошибка, на которую указывает Андрей123.
2.Тем не менее, само неравенство для верхних пределов - верное, но доказывается чуть хитрее: я рассмотрю только случай конечных верхних пределов, остальные случаи рассматриваются аналогично. Итак, пусть

\[ b_n = \frac{1}{n}\sum\limits_{k = 1}^n {a_k } \;;\;c_n = \mathop {\sup }\limits_{k \ge n} a_k \]

Теперь фиксируем натуральное

\[m\]

и рассмотрим

\[n > m\]

. Тогда имеем:

\[ b_n = \frac{1}{n}\sum\limits_{k = 1}^m {a_k } + \frac{1}{n}\sum\limits_{k = m + 1}^n {a_k } \le \frac{{n - m}}{n}c_m + o(1)\quad ,\;n \to \infty \]

Отсюда следует, что

\[ \overline {\lim \,} b_n \le c_m \Rightarrow \overline {\lim \,} b_n \le \mathop {\lim }\limits_{m \to \infty } c_m = \overline {\lim \,} a_n \]

, что и утверждалось.

[Henrylee]

2Brukvalub

Спасибо Ошибку увидел сразу, но пока раздумывал, Вы уже ответили.
Кстати, для прозрачности изложения лучше написать
\inf\limits_{m\ge 1}c_m вместо \lim\limits_{m\to\infty}c_m
(понятно, конечно. что это одно и то же)