Светоскоростной характер волновых уравнений КМ

[Lvov]

SergeyGubanov в сообщении #840424 писал(а):

Конечно же в Mathematica они есть: BesselJ , BesselY

Спасибо за информацию.

[Lvov]

В данном сообщении приводится рисунок с изображением графиков величин $J_0, Y_0, J_1, Y_1, P$ для одномерного УКГ в зависимости от единственной пространственной координаты $x$ для $t=10.$ Здесь величина $P$ - плотность вероятности обнаружения частицы. Графики изображены разными цветами, отвечающими цветам их символьных обозначений в верхнем левом углу рисунка.Из рисунка следует, что плотность вероятности обнаружения частицы резко возрастает близ фронта светоскоростной волны.Неожиданное обстоятельство - примерное совпадение кривых $Y_0$ и $J_1$ и относительно точная противофазность кривых $J_0$ и $Y_1.$



Расчет величин $J_0, Y_0$ производился по формулам для их Фурье -образов из справочника Бейтмена-Эрдея, (раздел 1.7, формулы (30), (34)) численным методом. Численное интегрирование по $p$ производилось в пределах от нуля до 1000 при шаге 0,001.
Расчет величин $J_1, Y_1$ производился по формулам

$$J_1(s)[Y_1(s)]= -\frac {\partial J_0(s) [Y_0(s)]} {\partial s}$$

также численным методом.
Расчет величины $P$ производился по формуле

$$P= \frac t s (J_0 Y_1 - J_1Y_0).$$

Следует заметить, что решение, получаемое на основе Фурье-трансформанты, включает пространственно затухающую волну, движущуюся впереди светоскоростного ее фронта. В справочной математической литературе и учебниках по КЭД указанная волна, противоречащая СТО, устранена добавлением сомножителя вида ступенчатой обрезающей функции $\theta(t-|x|)$ в одномерном задаче или $ \theta(t^2-r^2)$ в трехмерной задаче. Мой вопрос к знатокам математики: диктуется ли применение обрезающего множителя физическими соображениями, или этот множитель вытекает из строгого математического решения?

[Lvov]

Lvov в сообщении #840648 писал(а):

Следует заметить, что решение, получаемое на основе Фурье-трансформанты, включает пространственно затухающую волну, движущуюся впереди светоскоростного ее фронта. В справочной математической литературе и учебниках по КЭД указанная волна, противоречащая СТО, устранена добавлением сомножителя вида ступенчатой обрезающей функции $\theta(t-|x|)$ в одномерном задаче или $ \theta(t^2-r^2)$ в трехмерной задаче.

Я более внимательно изучил вопрос о вышеуказанной волне-предвестнике основного решения уравнения Клейна-Гордона для дельта-образного источника.
В одномерном случае она описывается функцией Макдональда нулевого порядка $K_0(m\sqrt{x^2-t^2}),$ в трехмерном случае функцией Макдональда первого порядка от подобного аргумента $K_1(m\sqrt{r^2-t^2})/\sqrt{r^2-t^2}.$ Решение с учетом этой функции явно указано у Ширкова-Боголюбова "Квантованные поля", пар.18, (18). Образающая ступенчатая функция при этом ни в данном источнике, ни в источнике Тирринг "Принципы КЭД" не используется.

Рассматриваемая функция быстро затухает в свехсветовой области на расстояниях порядка комптоновской длины волны.
В одномерном случае рассматриваемую волну-предвестник можно видеть на грфиках SergeyGubanov' а в сообщении post838641.html#p838641

[SergeyGubanov]

Lvov в сообщении #840648 писал(а):

Здесь величина $P$ - плотность вероятности обнаружения частицы.

А я бы поостерёгся так думать. У вас график функции распространения (пропагатора). Сам по себе пропагатор полем не является хотя и удовлетворяет уравнениям похожим на полевые. Поле равно свёртке (интегралу от) пропагатора с чем-то для этого подходящим. Если совсем по-простому говорить, то пропагатор это, так сказать, обобщённая функция (ну, там, например, дельта функция Дирака), а поле - обычная функция, их не надо под одну гребёнку грести.

[SergeyGubanov]

По формуле (2) из сообщения #840518 построил эволюцию во времени волнового пакета с начальными условиями

$$ \psi(t, x)|_{t=0} = \exp \left(-\frac{x^2}{2 a^2} \right), \quad \partial_t \psi(t, x) |_{t=0} = 0, $$

для случаев $a = 0.1$ и $a = 3$ при $m=1$:



Наглядная демонстрация "светоскоростного характера" возбуждений длина волны которых меньше комптоновской. За то время пока коротковолновое возбуждение распространилось на сто своих длин, длинноволновое возбуждение едва тронулось с места.

[Munin]

SergeyGubanov в сообщении #840933 писал(а):

Сам по себе пропагатор полем не является хотя и удовлетворяет уравнениям похожим на полевые. Поле равно свёртке (интегралу от) пропагатора с чем-то для этого подходящим.

Ну вот если пропагатор свернуть с дельта-функцией, то получится...

-- 26.03.2014 22:58:27 --

SergeyGubanov в сообщении #841141 писал(а):

За то время пока коротковолновое возбуждение распространилось на сто своих длин, длинноволновое возбуждение едва тронулось с места.

Простите, время тут надо измерять в длинах волн, так что для длинноволнового - брать время в соответственное число раз больше.

[Lvov]

SergeyGubanov в сообщении #841141 писал(а):

За то время пока коротковолновое возбуждение распространилось на сто своих длин, длинноволновое возбуждение едва тронулось с места.

Интересно, а Вы не можете построить графики эволюции куполообразной функции шириной 2 комптоновских волны?

[SergeyGubanov]

Lvov в сообщении #841515 писал(а):

Интересно, а Вы не можете построить графики эволюции куполообразной функции шириной 2 комптоновских волны?

Уравнение

$$ \partial_t^2 \psi - \partial_x^2 \psi + m^2 \psi = 0. $$

Начальные условия:

$$ \psi(t, x)|_{t=0} = \exp \left(-\frac{x^2}{2 a^2} \right), \quad \partial_t \psi(t, x) |_{t=0} = 0. $$

Эволюция во времени от $t=0$ до $t = 15$ для различных $a$.

Единицы измерения $t$ и $x$ таковы, что $m=1$.

$a = 0.25$


$a = 0.5$


$a = 1$


$a = 2$


$a = 3$


$a = 4$


$a = 5$

Munin в сообщении #841246 писал(а):

Ну вот если пропагатор свернуть с дельта-функцией, то получится...

...то получится пропагатор.

Пропагатор, дельта функция - это обобщённые функции. Поле - обычная функция.

Свёртка пропагатора с полем даёт поле.
Свёртка пропагатора с обобщённой функцией даёт обобщённую функцию, не поле.

Munin в сообщении #841246 писал(а):

Простите, время тут надо измерять в длинах волн, так что для длинноволнового - брать время в соответственное число раз больше.

Единицы измерения промежутков времени и расстояний жёстко фиксированы массой $m$. На показанных графиках единица длины равна комптоновской длине соответствующей массе $m$. Время равное, например, $t=15$ означает поделённое на скорость света расстояние равное пятнадцати комптоновских длин соответствующих массе $m$.

[Munin]

SergeyGubanov в сообщении #841577 писал(а):

Пропагатор, дельта функция - это обобщённые функции. Поле - обычная функция.

Ну регуляризуйте дельта-функцию в какую-нибудь узкую гауссову функцию. Ничего ж не изменится. Даже ваши графики это вам показывают: когда вы берёте "коротковолновое возбуждение", то распространяется оно почти так же, как и дельта-функция.

SergeyGubanov в сообщении #841577 писал(а):

Свёртка пропагатора с полем даёт поле.
Свёртка пропагатора с обобщённой функцией даёт обобщённую функцию, не поле.

Это игра словами. Обобщённые функции пополняют пространство обычных функций, не более того.

У вас что, какой-то неприятный личный опыт был, связанный с обобщёнными функциями, что вы им так не доверяете и за людей не считаете?

SergeyGubanov в сообщении #841577 писал(а):

Единицы измерения промежутков времени и расстояний жёстко фиксированы массой $m$. На показанных графиках единица длины равна комптоновской длине соответствующей массе $m$. Время равное, например, $t=15$ означает поделённое на скорость света расстояние равное пятнадцати комптоновских длин соответствующих массе $m$.

Вот, а я о том, что если вы берёте начальное возбуждение шириной $\lambda,$ то покажите его эволюцию на промежутке времени до $15\lambda/c.$

[SergeyGubanov]

Munin в сообщении #841616 писал(а):

Ну регуляризуйте дельта-функцию в какую-нибудь узкую гауссову функцию. Ничего ж не изменится.

Кое что изменится. Как минимум изменится уровень абстракции. Это как заменить дифференциал $dx$ на конечную разность $\Delta x$. Я не могу объяснить это на математическом уровне строгости, попробую на "народно-хозяйственном"... С практической, прикладной точки зрения обобщённые функции отличаются от обычных тем, что, например, принципиально не поддаются численному интегрированию "в лоб". Они, так сказать, представляют из себя абстрактную формулу, которую надо каждый раз перед использованием обрабатывать напильником прежде чем получить "число". То есть они отличаются от обычных функций, наверное, на столько же на сколько "числовые" формулы ($1+1=2$) отличаются от "символьных" формул ($a+b=c$). Находятся на более высоком уровне абстракции. Например, интеграл

$$ \psi(t, x) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} A(t, x - y) \, \varphi(y) \, dy \eqno(1) $$

в котором фигурирует обобщённая функция

$$ A(t, x) = \frac{1}{2 \pi} \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \cos \left(t \sqrt{m^2 + p^2} \right) \cos (p x) \, dp \eqno(2) $$

есть некий, как бы, всего лишь "символ" в том смысле, что его нельзя взять численно "в лоб" вот прямо как написано. Вместо этого, прежде чем выудить из него "число", сначала надо подставить формулу (2) в формулу (1) и изменить порядок интегрирования: сначала брать интеграл по $y$, затем по $p$.

$$ \psi(t, x) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \left[ \cos \left(t \sqrt{m^2 + p^2} \right) \left( \frac{1}{2 \pi} \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \cos (p (x - y)) \, \varphi(y) \, dy \right) \right] dp \eqno(3) $$

Только после этих символьных манипуляций с обобщённой функцией $A(t, x)$, мы получаем формулу (3) пригодную для численного интегрирования - из неё можно получить "число".

Munin в сообщении #841616 писал(а):

Вот, а я о том, что если вы берёте начальное возбуждение шириной $\lambda,$ то покажите его эволюцию на промежутке времени до $15\lambda/c.$

Да хоть на 20.

Но рядышком я покажу график коротковолнового возбуждения, чтоб было с чем сравнить.

Сравнение эволюции пакетов с $a=0.2$ и $a=5$ на больших временах ($t=0$, $t=25$, $t=50$, $t=75$, $t=100$ комптоновских времён):



Коротковолновое возбуждение с $a=0.2$ за 100 комптоновских времён убежало на расстояние примерно 100 комптоновских длин, то есть распространялось примерно со скоростью света.

Длинноволновое возбуждение с $a=5$ за 100 комптоновских времён (или за 20 своих исходных длин делённых на скорость света) кончиком хвоста едва доползло до $\sim$50 комптоновских длин, а его "центр тяжести" едва сдвинулся на $\sim$15 комптоновских длин (или на $\sim$3 своих изначальных).

[Munin]

SergeyGubanov в сообщении #841667 писал(а):

Кое что изменится. Как минимум изменится уровень абстракции. Это как заменить дифференциал $dx$ на конечную разность $\Delta x$.

Ну, на конкретные числа это не слишком повлияет.

SergeyGubanov в сообщении #841667 писал(а):

С практической, прикладной точки зрения обобщённые функции отличаются от обычных тем, что, например, принципиально не поддаются численному интегрированию "в лоб". Они, так сказать, представляют из себя абстрактную формулу, которую надо каждый раз перед использованием обрабатывать напильником прежде чем получить "число". То есть они отличаются от обычных функций, наверное, на столько же на сколько "числовые" формулы ($1+1=2$) отличаются от "символьных" формул ($a+b=c$). Находятся на более высоком уровне абстракции.

Это вы просто плохо теорию обобщённых функций знаете. На (М) разделе форума участник RIP хорошо это объясняет, проконсультируйтесь у него.

Обобщённая функция - конечно, не обычная функция. Но её смысл - не в "более высоком уровне абстракции", а просто в другой абстракции. Аналогично тому, как при переходе от классической к квантовой механике вы заменяете вектор $(x,y,z)$ на комплекснозначную функцию $\Psi(x,y,z).$ И то, и другое - просто числа, которые можно задать как угодно.

SergeyGubanov в сообщении #841667 писал(а):

Да хоть на 20.

Но рядышком я покажу график коротковолнового возбуждения, чтоб было с чем сравнить.

Спасибо. Но имхо, более показательно поставить рядом именно графики коротковолнового и длинноволнового возбуждений на сравнимых временах, выраженных в единицах "своих длин". Уже сейчас кое-что видно, но приходится косить глазом на два разных сообщения.

[Lvov]

SergeyGubanov в сообщении #841577 писал(а):

Пропагатор, дельта функция - это обобщённые функции. Поле - обычная функция.

SergeyGubanov в сообщении #841667 писал(а):

Коротковолновое возбуждение с $a=0.2$ за 100 комптоновских времён убежало на расстояние примерно 100 комптоновских длин, то есть распространялось примерно со скоростью света.

Длинноволновое возбуждение с $a=5$ за 100 комптоновских времён (или за 20 своих исходных длин делённых на скорость света) кончиком хвоста едва доползло до $\sim$50 комптоновских длин, а его "центр тяжести" едва сдвинулся на $\sim$15 комптоновских длин (или на $\sim$3 своих изначальных).

Конечно же Munin прав: и базовая функция и "обычное" поле есть решения единого уравнения Клейна-Гордона, различающиеся лишь видом их источника, который локализован в первом случае и распределен во втором.
В первом случае велика амплитуда составляющих с большими значениями импульсов вплоть до бесконечных, во втором случае эта амплитуда мала при широкой исходной функции. Преобладают же в последнем случае амплитуды малых (низкочастотных) импульсов, которые и определяют медленное расползание волны. Теоретически же волна по-прежнему расползается на величину $ct,$ только на графике этого не заметно ввиду весьма малого уровня "хвостов".

Я попросил показать графики для промежуточного значения ширины импульса, что бы увидеть - есть ли спад амплитуды волновой функции в центре при $x=0.$ К сожалению графики мало наглядны, что связано с вещественностью исследуемой функции, которая колеблется во времени. При этом на графике для каждого момента времени функция отображается для случайного значения фазы. Если бы решалась задача для комплексной функции, то при выдаче на график модуля амплитуды функции ($\sqrt{\operatorname{Re}^2+\operatorname{Im}^2}$) было бы исключено влияние текущей фазы колебаний.

В целом же благодарю Сергея за выдачу многочисленных графических данных.

[SergeyGubanov]

Lvov в сообщении #841752 писал(а):

Конечно же Munin прав: и базовая функция и "обычное" поле есть решения единого уравнения Клейна-Гордона, различающиеся лишь видом их источника, который локализован в первом случае и распределен во втором.

Обобщённая функция это вообще не функция, а функционал. Смысл символа $A(t, x)$ в примере из моего предыдущего сообщения проявляется лишь в том, что с $A(t, x)$ можно интегрировать обычные функции в результате получая другие обычные функции:

$$ \psi(t, x) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} A(t, x - y) \, \varphi(y) \, dy, \eqno(1) $$

$$ A(t, x) \equiv \frac{1}{2 \pi} \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \cos\left(t\sqrt{m^2+p^2} \right) \cos (p x) \, dp. \eqno(2) $$

В отрыве от функционала (1) символ (2) самостоятельного смысла не несёт.

Уравнению Клейна-Гордона могут удовлетворять не только обычные функции, но и... абстрактные символы навроде (2).

[Lvov]

SergeyGubanov в сообщении #842287 писал(а):

Обобщённая функция это вообще не функция...

Не буду с вами спорить, оставайтесь при своем мнении. Последней своей задачей в данной теме я считаю привести графики базовой функции для трехмерного варианта УКГ.

[Munin]

SergeyGubanov в сообщении #842287 писал(а):

В отрыве от функционала (1) символ (2) самостоятельного смысла не несёт.

Я вам уже сказал: если вы не понимаете самостоятельного смысла обобщённых функций, идите почитайте простую книжку, поучитесь. Это вам вполне по силам (глядя на то, что вы справляетесь делать). Но не продолжайте долдонить одну и ту же глупость! Это вас не красит.

Lvov в сообщении #842295 писал(а):

Не буду с вами спорить, оставайтесь при своем мнении.

Это не мнение, а правда: обобщённая функция - действительно, не функция. Но она "почти функция", в том смысле, что до очень широких пределов с ней можно обращаться как с функцией, и не заморачиваться.

-- 28.03.2014 19:40:39 --

Lvov в сообщении #842295 писал(а):

Последней своей задачей в данной теме я считаю привести графики базовой функции для трехмерного варианта УКГ.

А их же SergeyGubanov уже приводил.