Циркуляция вдоль петли

[Omega]

Уважаемые форумчане. У меня возник следующий вопрос, и я хотел бы с ним как следует разобраться. Заранее спасибо.
Задача: найти циркуляцию векторного поля $\vec{F}=z\cos{\varphi}\mathbf{e}_{\rho}+\rho\mathbf{e}_{\varphi}+\varphi^{2}\mathbf{e}_{z}$ вдоль петли $\rho=\sin{\varphi};z=1$
Поступаем стандартным образом:

$$\oint\limits_{C}\vec{F} \cdot d\vec{l}= \oint\limits_{C} F_{\rho}d\rho+\rho F_{\varphi} d\varphi+F_{z}dz=\int\limits_{0}^{\pi}d\varphi=\pi$$

Проверка теоремой Стокса:

$$\oint\limits_{C}\vec{F} \cdot d\vec{l}=\iint \limits_{\Phi}(\operatorname{rot}\!\vec{F},\vec{n})dS$$

Т.к. $\vec{n}=(0;0;1)$ и

$$\operatorname{rot}_{{z}}\!\vec{F}=\dfrac{1}{\rho}\left (\dfrac{\partial}{\partial\rho} (\rho^{2}) -\dfrac{\partial}{\partial \varphi}(\cos{\varphi})\right)=3 $$

Получим, что

$$\iint \limits_{\Phi}(\operatorname{rot}\!\vec{F},\vec{n})dS=3\pi/2$$

Никак не пойму где я ошибся???

[Omega]

Может быть я как-то неправильно умножил ротор на нормаль?!

[mihiv]

Неправильно нашли $\operatorname{rot}_{{z}}\!\vec{F}$

[Omega]

mihiv, спасибо.
Но ведь:

$$\operatorname{rot}_{{z}}\!\vec{F}=\dfrac{1}{\rho}\left (\dfrac{\partial}{\partial\rho} (\rho^{2}) -\dfrac{\partial}{\partial \varphi}(\cos{\varphi})\right)=\dfrac{1}{\rho}\left (2\rho+\sin{\varphi})\right)=\dfrac{3\rho}{\rho}$$

Что-то я не понял это... почему тогда так? Или мне ротор нужно в прямоугольных координатах вычислять?

[svv]

$\frac {\sin \varphi} \rho$ так хочется заменить на $1$, ведь по условию $\rho=\sin{\varphi}$...
Но нельзя.

[Omega]

Ну а как тогда же мне быть, svv?

[svv]

Но Вы поняли, почему нельзя?

[Omega]

svv
С математической точностью - нет, не понял, но осознал, что делать нужно далее, примерно так:

$$\iint \limits_{\Phi}(\operatorname{rot}\!\vec{F},\vec{n})dS=\int\limits_{0}^{1}\int\limits_{0}^{\pi}\rho \left (2+\dfrac{\sin{\varphi}}{\rho} \right) d\rho d\varphi=\pi+2 ?$$

Бред какой-то :(

[svv]

Потому что условие $\rho=\sin{\varphi}$ выполняется лишь на границе области. Оно несправедливо внутри области, по которой надо проинтегрировать ротор.

В Вашем интеграле по $\rho$ поправьте верхний предел.

[Omega]

$$\int\limits_{0}^{\pi}d\varphi \int\limits_{0}^{\sin{\varphi}}\rho \left (2+\dfrac{\sin{\varphi}}{\rho} \right) d\rho =\pi$$

[svv]

Точно.

[Omega]

Большое спасибо!
И, пользуясь моментом, я хотел бы задать ещё пару вопросов по следующей подобной задаче:
Дано поле: $\vec{F}=r\mathbf{e}_{r}+r\sin{\theta}\mathbf{e}_{\theta}-3r\varphi \sin{\theta} \mathbf{e}_{\varphi}$
Нужно найти его поток через верхнюю часть сферы, ограниченную плоскостью $ z=0$.

[svv]

Пожалуйста. А в чем Ваш вопрос?

[Omega]

Что я делаю: пробую в лоб...В силу симметрии полусферы, нетрудно вообщем показать, что

$$\Phi=\Phi_{1}+\Phi_{2}=\iint_{\text{дно}}F_{\theta}dS_{\theta}+\iint_{\text{сфера}}F_{r}dS_{r}$$

$$\Phi=\int\limits_{0}^{R}\int\limits_{0}^{2\pi}r^{2}drd\varphi+\int\limits_{0}^{2\pi}\int\limits_{0}^{\pi/2}r^{3}\sin{\theta}d\theta d\varphi$$

Я здесь, к сожалению, много нужных слов не сказал...Например, что у дна $\theta=\pi/2$ а у второго интеграла $r=R$
Пока, надеюсь, всё верно?

-- 27.03.2014, 00:03 --

В итоге: $\Phi=\dfrac{8\pi R^{3}}{3}$
А теперь через Гаусса-Остроградского:

$$\Phi=\int\limits_{0}^{R}\int\limits_{0}^{\pi/2}\int\limits_{0}^{2\pi}( div{\vec{F}}) r^{2} \sin{\theta} dr d\theta d\varphi$$

Если я не ошибаюсь, то дивергенция равна $2\cos{\theta}$, и, поэтому - $\Phi=2\pi R^{3}/3$
Снова ,где-то я да "не додумал" что-то.

[svv]

Поток через полусферу — правильно, только в соответствующем интеграле вместо $r$ (переменная) сразу надо писать $R$ (константа). Можно так: компоненты поля $F_{\theta}, F_{\varphi}$ не дают вклада в поток, потому что перпендикулярны нормали. Оставшаяся компонента постоянна на сфере ($F_r=R$) и выносится за интеграл. Тогда сам интеграл равен просто площади полусферы.

Самый главный вопрос: Вы уверены, что по дну тоже надо интегрировать? Ведь поток можно находить и через незамкнутую поверхность. Для меня «поток через верхнюю часть сферы, ограниченную плоскостью $z=0$» означает поток только через верхнюю полусферу. А то, что Вы хотите найти — это «поток через границу области, ограниченной верхней полусферой и плоскостью $z=0$».