Геометрическая вероятность

[jorki]

Здравствуйте, не могли бы помочь?
Есть задача: На единичной окружности ($x^2 + y^2 = 1$) выбирается случайная точка $P$(из равномерного распределения). в единичном круге ($x^2 + y^2 <= 1$) выбирается случайная точка $Q$(также из равномерного). Пусть $R$ - прямоугольник со сторонами, параллельными осям координат и диагональю $PQ$. Какова вероятность того, что весь прямоугольник лежит в круге.
У меня рассуждения такие, возьмем точку $(x,y)$ на четверти окружности $(x > 0,y > 0)$, тогда вероятность того, что весь прямоугольник лежит в круге равна $\frac{4 x y}{\pi}$, дальше как я понимаю нужно воспользоваться формулой полной вероятности, но я знаю формулу только для конечных наборов событий, интуитивно понятно, что нужно проинтегрировать, но как?(в интернете не нашел)

[TOTAL]

jorki в сообщении #840379 писал(а):

У меня рассуждения такие, возьмем точку (x,y) на четверти окружности(x > 0,y > 0), тогда вероятность того, что весь прямоугольник лежит в круге равна 4xy/Pi, дальше как я понимаю нужно воспользоваться формулой полной вероятности, но я знаю формулу только для конечных наборов событий, интуитивно понятно, что нужно проинтегрировать, но как?(в интернете не нашел)

$x=\cos(\omega)$
$y=\sin(\omega)$
Интегрируйте по $\omega$

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Олимпиадные задачи (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: формулы не оформлены $\TeX$ом

jorki
Наберите все формулы и термы $\TeX$ом.
Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[jorki]

$\int\limits_{0}^{2 \pi} \frac {4 |\sin w| |\cos w|}{\pi} dw$ интегрируя получаю $\frac{8}{\pi}$, что не так?

[TOTAL]

jorki в сообщении #840563 писал(а):

$\int\limits_{0}^{2 \pi} \frac {4 |\sin w| |\cos w|}{\pi} dw$ интегрируя получаю $\frac{8}{\pi}$, что не так?

Вместо $dw$ надо писать $\frac{dw}{2\pi}$

[jorki]

ясно, то есть мы берем небольшой элемент дуги ищем вероятность попадания в этот элемент, после умножаем на условную вероятность? спасибо!

[Gyros]

Извините, тема старая, но все же не понятно почему $4xy/\pi$? У нас же две точки $P$ и $Q$. Какие имеются в виду $x$ и $y$? Даже рисунок сделал..

Цитата:

[alisa-lebovski]

При заданной точке $P$ точка $Q$ должна лежать в прямоугольнике, вписанном в окружность, с вершиной в точке $P$, стороны которого параллельны координатным осям. Так и получается.

[Lia]

Gyros
Оформляйте формулы по Правилам самостоятельно.

[Gyros]

Понял о каком прямоугольнике идет речь. Если $Q$ принадлежит этой прямоугольной области, то прямоугольник с диагональю $PQ$ полностью содержится в круге (пусть это будет событие $A$ ).

(Оффтоп)

Теперь мы имеем плотность вероятности $\frac{4xy}{\pi}$. Надо взять двойной интеграл по этой области (как будто мы ищем массу этой прямоугольной пластинки с плотностью $\frac{4xy}{\pi}$ ).
Т.е. $P(A)=\iint\limits_{}^{}\frac{4xy}{\pi} dxdy$.
Вот тут два момента не ясны:
1) модули у $\sin(\omega)$ и $\cos(\omega)$ как-то нелогично появляются (ну типа чтобы ноль не получить);
2) почему надо делить на $2\pi$, исходя из чего (как будто подгоняем к ответу)?
Надо в этом двойном интеграле обязательно переходить к полярной системе координат, т.к. в декартовой мы проинтегрировать не сможем, т.к. у нас границы области меняются (не константы).

Потом, топикстартер писал:

Цитата:

то есть мы берем небольшой элемент дуги ищем вероятность попадания в этот элемент, после умножаем на условную вероятность?

из чего мне кажется что он не понял решения (откуда тут условная вероятность?)

[alisa-lebovski]

Gyros в сообщении #1508349 писал(а):

модули у $\sin(\omega)$ и $\cos(\omega)$ как-то нелогично появляются (ну типа чтобы ноль не получить)

Точка $P$ же не обязательно с положительными координатами, она может быть на месте того, что у Вас обозначено $K$ или $M$. Тогда, чтобы найти (положительную) площадь прямоугольника, надо брать какую-то из координат с обратным знаком, так и выходит модуль.

Gyros в сообщении #1508349 писал(а):

почему надо делить на $2\pi$, исходя из чего (как будто подгоняем к ответу)?

Потому что берем интеграл по углу $dw$, а полный угол $2\pi$. Надо делить на длину отрезка, чтобы получить плотность равномерного распределения.

Gyros в сообщении #1508349 писал(а):

откуда тут условная вероятность?)

В том смысле, что вероятность попадания $Q$ в прямоугольник берется при условии, что $P$ известна (строго говоря, принадлежит малому элементу дуги).

[Gyros]

А как это облечь в формулу полной вероятности?
Пусть $A$ - событие, что точка $Q$ попадает в прямоугольную область;
событие $B$ - точка $P$ лежит на окружности.
Тогда по формуле полной вероятности $P(AB)=P(A|B)\cdot P(B)$, где
$P(A|B)=\frac{4 \cdot |x| \cdot |y|}{\pi}$,
$P(B)=\frac{d\omega}{2\pi}$.
Далее интегрируем это произведение по прямоугольной области.
Правильно?

[alisa-lebovski]

Во-первых, $B$ - не просто что лежит на окружности, а что попадает в конкретную малую дугу $dw$ (дифференциал дуги). Во-вторых, формула полной вероятности не так пишется. Обычно она в виде суммы, но здесь сумма переходит в интеграл.

[Gyros]

То есть искомая вероятность равна:

$P(AB)=\sum\limits_{i=1}^{n}P(AB_i) = \sum\limits_{i=1}^{n}P(A|B_i)\cdot P(B_i) =\lim\limits_{\max\Delta\omega_i\to 0}^{} \sum\limits_{i=1}^{n} \frac{4 \cdot |\sin \omega| \cdot |\cos \omega |}{\pi} \frac{\Delta\omega_i}{2\pi}=\int\limits_{0}^{2\pi} \frac{4 \cdot |\sin \omega| \cdot |\cos \omega |}{\pi} \cdot \frac{d \omega}{2\pi}=\frac{4}{\pi^2}$

где $B_i$ - событие, что точка P лежит на элементе дуги $\Delta\omega_i$,
$A$ - событие, что точка $Q$ попадает в прямоугольную область;
Корректно?